1r ciclo Ejercicio física

[Josefisica]

Hola soy nuevo en el foro y quería ver si alguien podría ayudarme con un problema de mecánica, nivel de 1 de ingeniería industrial, el problema es el siguiente, llevo dándole vueltas y vueltas y no soy capaz de sacarlo.
Una polea de radio R y grosor H, situada en un plano vertical, lleva acoplado un detector fotoeléctrico que muestra el tiempo que tarda en hacer cada vuelta entera. En un extremo de la cuerda enrollada a la polea cuelga un objeto de masa M. Determinar el material del que esta hecha la polea a partir de las medidas de tiempo por vuelta.
Radio R: m
Grosor H: mm
Masa objeto M: g

Tabla de tiempos por vuelta ( entiendo que es un tiempo acumulativo, es decir que el segundo tiempo es el de la primera más la segunda vuelta, ya que cada vez tiene que ir más rápido)
Vuelta ......tiempo


Luego tengo una tabla de la densidad de cada material, por tanto se ha de calcular la densidad de la polea y como puedo calcular el volumen con las medidas de la misma creo que lo que hay que calcular es la masa de la polea, pero no soy capaz de sacar nada más, llevo una semana dándole vueltas. Agradecería si alguien me da alguna idea.

[electr0n]

Re: Ejercicio física

Interesante problema!

Yo lo veo de la siguiente forma.

1) Primero hay que plantear las ecuaciones del movimiento y despejar la masa de la polea:

$<br /> \displaystyle M_p=2M\left(\frac{g}{\alpha R}-1\right)<br />$

2) Después planteamos la ecuación del movimiento giratorio de la polea, suponiendo condiciones iniciales de reposo:

$\displaystyle \varphi (t)=\frac{1}{2}\alpha t^2$

3) Colocamos en una tabla los tiempos para cada vuelta, entendiendo que cada valor de tiempo consecutivo es el correspondiente a una vuelta adicional. Así tendremos una comparativa $\varphi (t)$ frente a $t$.

4) Para simplificarlo, hacemos un estudio por mínimos cuadrados y transformamos la ecuación de giro en

$\displaystyle Y=\sqrt{\varphi (t)}=\sqrt{\frac{\alpha}{2}}t=nX$

y de la gráfica calculamos la pendiente:

El resultado numérico es $\alpha=0,9437rad/s^2$, con lo que la masa de la polea resulta $M_p=4,65kg$. A partir de aquí, con las dimensiones de la polea (cilindro), tienes la densidad

A ver qué te parece!

Saludos

[Josefisica]

Re: Ejercicio física

No me lo he podido mirar con calma hasta ahora, y me parece perfecta la resolución que has puesto. Pero no acabo de ver como es la ecuación del movimiento de la polea, de la cual seguidamente despejas la masa. Si me podrías poner como la haces, si no es mucha molestia, te estaría muy agradecido. Y otro punto, entiendo lo que haces pero me gustaría que me explicaras cuando se puede utilizar, ya que me parece muy interesante, es el estudio de mínimos cuadrados, entiendo que haces la raíz cuadrada de la función de forma que te queda una ecuación lineal y calculas la pendiente de esa recta y con esa pendiente despejas la aceleración angular.

[electr0n]

Re: Ejercicio física

No me lo he podido mirar con calma hasta ahora, y me parece perfecta la resolución que has puesto. Pero no acabo de ver como es la ecuación del movimiento de la polea, de la cual seguidamente despejas la masa. Si me podrías poner como la haces, si no es mucha molestia, te estaría muy agradecido.

Las ecuaciones del movimiento son 2, la de traslación de la masa colgante y la de rotación de la polea. Ambas están ligadas por la tensión en la cuerda:

$Mg-T=Ma=M\alpha R$

$TR=I\alpha$

Estamos suponiendo una polea con forma de cilindro, por lo que su momento de inercia respecto del eje perpendicular al plano vertical es $\displaystyle I=\frac{1}{2}M_pR^2$. Con un par de cuentas, de estas 3 expresiones se despeja directamente $\alpha$.

Y otro punto, entiendo lo que haces pero me gustaría que me explicaras cuando se puede utilizar, ya que me parece muy interesante, es el estudio de mínimos cuadrados, entiendo que haces la raíz cuadrada de la función de forma que te queda una ecuación lineal y calculas la pendiente de esa recta y con esa pendiente despejas la aceleración angular.

Sabiendo que $\displaystyle\varphi (t)=\frac{1}{2}\alpha t^2$, podrías deducir la aceleración angular $\alpha$ únicamente con el primer dato de tiempo (es el periodo) y calcular la masa de la polea; y también podrías hacerlo con cualquiera de los demás datos. El problema es que sería un resultado muy poco preciso y no estarías empleando todos los datos, que para algo te los dan.

El método de mínimos cuadrados ajusta un conjunto de datos a una función minimizando al máximo las desviaciones derivadas de los propios errores de medida. Si un punto se aleja de la curva esperada un poco hacia arriba y otro punto se aleja un poco hacia abajo, la curva tenderá a situarse en una zona intermedia para tratar de eliminar la desviación. Existen ajustes de todo tipo (lineal, cuadrático, exponencial...) y se puede elegir el que más nos convenga; yo he usado el de la recta porque resulta evidente la simplificación sin más que hacer la raíz cuadrada, aunque también se puede hacer un ajuste parabólico



Saludos!

[lausens]

Re: Ejercicio física

Qué gran ayuda! Tengo un ejercicio similar, pero lo que me pasa es que cuando voy a despejar alfa, en la primera equación se me van las masas del cuerpo colgante y sólo me queda la de la polea.

M*g-T=M*alfa*R

es decir:

g-T=afa*R



Entonces, mi pregunta es: de dónde viene la M, masa, que has puesto en la equacion:

Mp=2M(g/alfa*R-1)

Gracias de antemano.

Edito porque tengo un problema a la hora de encontrar alfa. Cuando tengo la ecuación de la gráfica, la pendiente es:

Y=n (pendiente) X

Lo sustituyo en la fórmula, pero la tengo en función del tiempo. En este paso final estoy perdida.

Gracias.

[lausens]

Re: Ejercicio física

(mensaje)

[electr0n]

Re: Ejercicio física

lo que me pasa es que cuando voy a despejar alfa, en la primera equación se me van las masas del cuerpo colgante y sólo me queda la de la polea.

M*g-T=M*alfa*R

es decir:

g-T=afa*R

Eso está mal hecho! Para que desaparezca la M sería necesario que estuviera multiplicando a la T. Cuidadín con los cálculos...

tengo un problema a la hora de encontrar alfa. Cuando tengo la ecuación de la gráfica, la pendiente es:

Y=n (pendiente) X

Lo sustituyo en la fórmula, pero la tengo en función del tiempo. En este paso final estoy perdida.

En el mensaje anterior me he colado: el ángulo es $\displaystyle \varphi (t)=\frac{1}{2}\alpha t^2$ (ya lo he corregido).

La fórmula en forma lineal es

$\displaystyle \sqrt{\varphi (t)}=\sqrt{\frac{\alpha}{2}}\cdot t$

$Y=n\cdot X$

que obviamente está en función del tiempo, pues en la tabla del problema de Josefisica lo que aparecen son medidas de tiempo. Con esta ecuación lineal, hay que hacer una gráfica de $\sqrt{\varphi (t)}$ frente a t y la pendiente resulta $\sqrt{\alpha/2}$; de este modo, bien ajustada por mínimos cuadrados, la recta te da un valor preciso de $\alpha$.

Si no es mucha molestia, puedes poner tu problema y así lo miramos con calma

Un saludo

[lausens]

Re: Ejercicio física

Qué fallo tuve con las masas! Ni me di cuenta!

Mi resultado corresponde a el cerezo con una densidad de 0.80. El ejercicio es el mismo salvo que con datos distintos.

¡Muchisimas gracias por tu ayuda, nos has salvado!