Otras carreras dinamica de rotacion yo-yo

[airamj]

¿Cómo se calcula el momento de ineria de un yo-yo que está formado por 3 discos de los que conocemos sus radios y de los que se conoce la masa pero del conjunto, es decir no sé la masa de cada disco sino de los tres juntos?

[electr0n]

Re: dinamica de rotacion yo-yo

Ahora mismo no se me ocurre otra opción que expresar los momentos de inercia de cada disco (respecto del mismo eje, por supuesto) con su masa y radio, y luego sumarlos para conocer el momento de inercia del yo-yo entero. Pero claro, tal y como lo planteas...

¿La pregunta viene por algún problema real que tienes?

Saludos

[airamj]

Re: dinamica de rotacion yo-yo

Sí viene de un problema:
"Un yo-yo consta de dos discos de 6 cm de diametro y 2mm de altura unidos por otro cilindro de 1cm de diametro e igual altura. Los tres cilindros son coaxiales, homogeneos, de la misma materia, la masa del conjunto es 73g.
Se arrolla al cilindro menor un hilo.
Calcula la velocidad lineal dl yo-yo cuando ha descendido 60cm sin veloidad inicial.

El hilo está enrrollado al disco central de forma que ¿el momento de inercia sería el producto de la masa total por el radio sólo del disco central?

[electr0n]

Re: dinamica de rotacion yo-yo

Visto así, tiene más sentido.

Hay que plantear la ecuación de la dinámica de rotación (sin deslizamiento) para un disco de radio R con una tensión aplicada en un punto r<R de su periferia:

$\displaystyle T\cdot r=I_e\alpha=\frac{I_ea_c}{r}$

$Mg-T=Ma_c$

donde $I_e$ es el momento de inercia de un cilindro respecto del eje de giro.

Teniendo en cuenta que el sistema gira en torno al eje central de masa despreciable y tiene forma cilíndrica, su momento de inercia es $\displaystyle I_e=\frac{MR^2}{2}$, y se incluye la masa total porque el momento de inercia no depende de la anchura del clindro y en realidad gira como si fuese un único disco de radio R con la cuerda enrollada a un pequeño eje de radio r.

Despejando la aceleración queda:

$\displaystyle a_c=\frac{2r^2}{2r^2+R^2}g$

Ahora aplicamos la Cinemática y calculamos la velocidad:

$v=a_ct$

$\displaystyle h=\frac{1}{2}a_ct^2$

$\displaystyle v_c=\sqrt{2a_ch}=\boxed{\sqrt{\frac{4gr^2h}{2r^2+R^2}}}$

La resolución por energías, considerando ausencia de rozamiento y rodadura sin deslizamiento, sería de esta forma:

$E_{inicial}=Mgh$

$\displaystyle E_{final-h}=\frac{1}{2}Mv_c^2+\frac{1}{2}I\omega^2$

$\displaystyle Mgh=\frac{1}{2}Mv_c^2+\frac{1}{2}\frac{MR^2}{2}\frac{v_c^2}{r^2}$

Y despejando la velocidad, sale lo mismo:

$\displaystyle v=\sqrt{\frac{4gr^2h}{2r^2+R^2}}$

Es muy curioso porque esta velocidad no depende de la masa del yo-yo. Y si la tensión se aplicara en la periferia y no hubiera eje central (r=R), el resultado tampoco depende del radio y sale la expresión de la velocidad lineal para la rueda de Maxwell.

Imagino que alguien podrá corregirme si me equivoco

Saludos

[airamj]

Re: dinamica de rotacion yo-yo

Visto así, tiene más sentido.

Hay que plantear la ecuación de la dinámica de rotación para un disco de radio R con una tensión aplicada en un punto r<R de su periferia:

$T\cdot r=(I_e+Mr^2)\alpha$

$Mg-T=Ma_c$

donde I_e es el momento de inercia de cada disco respecto del eje y la suma se debe al teorema de Steiner. Ahora la ley de Newton se expresa cno dos términos de masa, la real y la debida a la rotación, escrita como el doble del momento de inercia por la existencia de 2 discos grandes:

$\displaystyle Mg=\left(2M+\frac{2I_e}{r^2}\right)a_c$

Pongo la masa total M porque la fuerza de rotación se transmite desde el disco pequeño a los discos grandes como si fueran un todo, ya que giran solidariamente.

Si aplicamos la consideración de rodadura sin deslizamiento, podemos hallar la aceleración lineal del centro de masas; con la altura h que desciende, se calcula la velocidad:

$\displaystyle v=\sqrt{\frac{4ghr^2}{2r^2+R^2}}$

Es muy curioso porque esta velocidad no depende de la masa del yo-yo. Y si la tensión se aplicara en la periferia y no hubiera eje central (r=R), el resultado tampoco depende del radio y sale la expresión de la velocidad lineal para la rueda de Maxwell.

Imagino que alguien podrá corregirme si me equivoco

Saludos

Es decir que el momento de inercia del conjunto se calcula con el teorema de steiner?
Luego sustituyes esa expresión en el principio de conservación de la energía y así obtienes la expresión de la velocidad?
Haciendo eso a mi me sale otra ecuación para la velocidad; en el denominador dentro de la raíz la r me sale multiplicada por 4, no por 2??

[electr0n]

Re: dinamica de rotacion yo-yo

Es decir que el momento de inercia del conjunto se calcula con el teorema de steiner?
Luego sustituyes esa expresión en el principio de conservación de la energía y así obtienes la expresión de la velocidad?
Haciendo eso a mi me sale otra ecuación para la velocidad; en el denominador dentro de la raíz la r me sale multiplicada por 4, no por 2??

He corregido el mensaje porque en realidad los cilindros ruedan en torno a su eje central, y por tanto no hay teorema de Steiner que valga.

Lo he puesto resuelto con Dinámica y por conservación de la energía; vemos que en efecto sale un 4 y no un 2

Saludos!

[airamj]

Re: dinamica de rotacion yo-yo

ok gracias, es decir que el momento de inercia del yo-yo es el mismo que el de un disco de mas M y radio R?, no se tiene en cuenta que la cuerda está enrollada en el disco pequeño?

[electr0n]

Re: dinamica de rotacion yo-yo

Según lo veo, el hecho de que la cuerda se enrolle en el disco pequeño influye a la hora de calcular el momento de la tensión (que produce el giro). Por eso se pone "T·r" y no "T·R". El momento de inercia no depende de la anchura, y por eso el dato del problema es la masa total y la anchura no se incluye en los cálculos.

He estado considerando el yo-yo con un dibujo grande en 3D y me parece que los datos de anchura sólo sirven para estudiar la caida sin balanceos, pues se trata de un sistema simétrico respecto del punto donde se enrolla la cuerda... No obstante, cabe la opción de estudiar el problema con el momento de inercia total suma de los correspondientes a 3 cilindros, dos de ellos con radio R y el otro con radio r=R/6; lo cual en aproximación seguramente sale MR²/2.

Luego lo miro.

Saludos!

[electr0n]

Re: dinamica de rotacion yo-yo

Efectivamente! Veamos qué pasa si calculamos el momento de inercia total:

$I_e=I_e(disco-grande)+I_e(eje)+I_e(disco-grande)$

$<br /> \displaystyle I_e=\frac{m_1R^2}{2}+\frac{m_2r^2}{2}+\frac{m_1R^2}{2}<br />$

$<br /> \displaystyle I_e=m_1R^2+\frac{m_2r^2}{2}=m_1R^2+\frac{m_2(R/6)^2}{2}=\left(m_1+\frac{m_2}{72}\right) R^2<br />$

donde llamamos $m_1$ a la masa de cada disco cilíndrico grande y $m_2$ a la del cilindro-eje.

Si el material es homogéneo, tendremos:

$\displaystyle \rho=\frac{m_1}{V_1}=\frac{m_2}{V_2}$

$\displaystyle \frac{m_1}{\pi R^2h}=\frac{m_2}{\pi R^2h}$

$\displaystyle \frac{m_1}{R^2}=\frac{m_2}{(R/6)^2}\Rightarrow m_2=\frac{m_1}{36}$

Con las dos ecuaciones ponemos:

$<br /> \displaystyle I_e=\left(m_1+\frac{m_1/36}{72}\right) R^2=\frac{2593}{2592}m_1R^2<br />$

Está bastante claro que se puede aproximar $I_e\simeq m_1R^2$ PARA ESTE CASO en que la masa del eje resulta a todas luces despreciable frente a la de los cilindros. Ahora bien,

$M=2m_1+m_2=2m_1+\frac{m_1}{36}\simeq 2m_1$

$\displaystyle I_e\simeq \frac{MR^2}{2}$

Con este argumento ya están justificadas las cuentas que llevaron al resultado de la velocidad en el mensaje anterior. Hemos empleado todos los datos, incluso el hecho de que todos los cilindros tienen la misma altura.

¿Qué te parece?

Saludos

[airamj]

Re: dinamica de rotacion yo-yo

Me parece genial, vamos que con ese razonamiento no se puede decir que falte nada a tener en cuenta. Muchas gracias por las molestias (¿de donde sacas el tiempo para contestar a todo el mundo?), gracias otra vez.

[electr0n]

Re: dinamica de rotacion yo-yo

En los ratos libres, ya sabes... A veces hasta durmiendo poco! Pero bueno, sirve para echarnos una mano entre todos y aprender

Saludos

[RELATY]

Re: dinamica de rotacion yo-yo

PARECE RAZONABLE EL CÁLCULO CON LO SUPUESTO DE LA DENSIDAD, PERO QUE PASARÍA SI LOS 2 CILINDROS GRANDES TIENEN IGUAL MASA E IGUAL ALTURA, PERO EL PEQUEÑO ADEMÁS DE TENER MASA DIFERENTE, LA ALTURA FUERA DISTINTA A LA DE LOS GRANDES?.

TENGO ENTENDIDO QUE EL MOMENTO DE INERCIA TOTAL DEL YO-YO DEBE SER LA SUMA DE LA DE C/U DE LOS CILINDROS, PERO SI SE HACE DE ESA MANERA, EN LOS PROBLEMAS EN LOS QUE NO TE DAN MAS DATOS COMO: M1, H1,R1 ( PARA LOS CILINDROS GRANDES); m2, h2,R2 (PARA EL PEQUEÑO), ¿CÓMO HACER EL CÁLCULO DE LAS INERCIAS, ACELERACIÓN,ETC?.

GRACIAS.