Otras carreras [Encuentro en Movimiento Circular]

[Jupa]

Hola estube viendo mucho tiempo este ejercicio pero no pude resolverlo...primero que nada la letra que tambien la adjunte en jpeg el cual trae un dibujito de la situación del problema. La letra es la siguiente:

En una guía circular horizontal sin rozamiento de radio R, hay dos masas (m y M). Entre las dos
masas se encuentra comprimido un resorte (cuya longitud natural es despreciable en comparación con
el perímetro de la guía), el cual no está fijo a ninguna de las masas. Las dos masas se sostienen unidas
por medio de un hilo. Cuando se rompe el hilo, el resorte dispara las dos masas en sentidos opuestos.
Al cabo de un cierto tiempo, las masas chocan.
El ángulo θ en que se produce el choque es:

Yo lo pense asi: lo pense con la coservacion de la energía entonce dije...inicialmente las masas comprimen el resorte sostenidas por un hilo...entonces plantie la energia inicial para cada masa (m y M) sabiendo que inicialmente tienen potencial elástica. Cuando el resorte las dispara en el instante que ya no este comprimido cada masa tendra energia cinética entonces usando la conservación de energía para cada masa sabiendo que el caso de la potencial elástica es Epe=(k*x^2)/2 y la cinética Ec=(m*v^2)/2 y usando la relacion de movimiento circular que me dice que x=Rθ y que v=Rw entonces para cada masa saque la velocidad angular w y quise llegar a algo planteando la ecuacion de movimiento para cada masa de la siguiente manera: θ1= θ01+w1*t y θ2=θ02+w2*t pero me re marie porque las posiciones iniciales o sea los θ0 deberian ser iguales a 0 los dos tomandome el eje fijo de referencia que pasa por las dos masas cuando estan comprimiendo el resorte...en fin me tranque ahi y no pude llegar a nada mas espero no haber sido muy extenso...si fue asi aganmelo saber . Si alguien me puede ayudar le estoy muy agradecido. Saludos! y muchas gracias!
Atte. Juan Pablo Aguilar

[electr0n]

Re: [Encuentro en Movimiento Circular]

Yo lo veo así:

Por inspección vemos que la A y la C no son dimensionalmente correctas, luego quedan excluídas. Después, por simetría es lógico pensar que si M=m, ambas chocarán justo en el extremo diametralmente opuesto ($\theta=\pi$), lo cual no se cumple ni para la E ni para la B. Por tanto, la solución debe ser la D. No obstante, hagámoslo con cálculos.

En cuanto las masas salen disparadas, ya no hay fuerzas exteriores y por tanto permanecen con la misma energía y valor absoluto del momento lineal a lo largo de la guía. Entonces, no tienen aceleración y se pueden escribir sus ecuaciones de movimiento como MCUs. Dado el ángulo $\theta$ para el que chocan, tendremos:

$\theta=0+\omega_Mt_{choque}$

$2\pi-\theta=0+\omega_mt_{choque}$

Recordamos que $v=\omega R$ y desarrollamos:

$\displaystyle \frac{\theta}{\omega_M}=\frac{2\pi-\theta}{\omega_m}$

$\displaystyle \frac{\theta}{v_M}=\frac{2\pi-\theta}{v_m}$

$<br /> \displaystyle \theta=2\pi \frac{v_M}{v_M+v_m}=\frac{2\pi}{1+\frac{v_m}{v_M}}<br />$

El impulso ejercido por el resorte sobre las masas es, a efectos físicos, similar a un choque inelástico y se debe a una fuerza interna y aproximadamente instantánea. Obviamente no se conserva la energía cinética antes y después. Sin embargo, el momento lineal total se conserva, a partir de un estado inicial de reposo:

Impulso resorte -> $p_{total}=p_{antes}=p_{despues}=0$

$Mv_M-mv_m=0$

$Mv_M=mv_m$

$<br /> \displaystyle \frac{v_m}{v_M}=\frac{M}{m}<br />$

Sustituimos en la expresión para $\theta$ y obtenemos:

$<br /> \displaystyle \theta=\frac{2\pi}{1+\frac{M}{m}}<br />$

y por tanto queda demostrado que, efectivamente, la respuesta es la D.

Espero no haber metido la pata!

Saludos.

[Jupa]

Re: [Encuentro en Movimiento Circular]

Uhh MUCHISIMAS GRACIAS es esa la respuesta correcta la D! me gusto mucho tambien el método rápido para sacar la respuesta correcta a veces trato de analizar casos distintos del mismo problema si se diera en otras condiciones pero en este ni se me ocurrio. Este ejer me rompio la cabeza no habia hecho nunca ejercicios de encuentro en MCU y ta...muchas gracias por usar tu tiempo en darme una mano! Saludos!