Ejercicio rampa-bloque-muelle

[electr0n]

Re: Ejercicio rampa-bloque-muelle

A ver, chicos, lo he estado mirando y lo he resuelto. Pero me parece que el método se escapa un poco del nivel que estáis tratando...

Consideramos la masa que ha terminado de descender por el plano inclinado y llega al principio del muelle sin deformar con cierta velocidad $v_0$. Conforme empieza a empujar, el muelle ejerce una fuerza elástica sobre ella que depende de la distancia de compresión $x$. Aplicamos la regla de la cadena e integramos:

$\displaystyle F=-kx=m\frac{dv}{dt}=m\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=mv\frac{dv}{dx}$

$\displaystyle -\frac{k}{m}xdx=vdv$

$\displaystyle -\frac{k}{m}x^2+C=v^2$

Como sabemos que $v(x=0)=v_0$, tenemos que $C=v_0^2$; por tanto reordenamos términos y obtenemos v(x):

$\displaystyle v(x)^2=v_0^2-\frac{k}{m}x^2\Rightarrow \boxed{\displaystyle v(x)=\sqrt{v_0^2-\frac{k}{m}x^2}}$

Ahora expresamos la velocidad en función del tiempo y volvemos a integrar:

$\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=\sqrt{v_0^2-\frac{k}{m}x^2}\Rightarrow \int_{x_i}^{x_f}{\frac{dx}{\sqrt{v_0^2-\frac{k}{m}x^2}}}=\int_{t_i}^{t_f}{dt}$

Tomamos como origen de tiempo $t_0=0$ y de compresión $x_0=0$. Para conocer la máxima compresión del muelle, aplicamos conservación de la energía (no hay rozamiento en ese tramo):

$\displaystyle E=\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}kx_f^2 \Rightarrow x_f=\sqrt{\frac{m}{k}}v_0$

que en el proceso inverso es una expresión simétrica, es decir, tarda el mismo tiempo en comprimirse que en descomprimirse debido a la ausencia de rozamiento. Las integrales para ambos procesos quedan:

$\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{\frac{m}{k}}v_0}{\frac{dx}{\sqrt{v_0^2-\frac{k}{m}x^2}}}=\int_{0}^{t_f}{dt}=t_f, \int_{\sqrt{\frac{m}{k}}v_0}^{0}{\frac{dx}{\sqrt{v_0^2-\frac{k}{m}x^2}}}=\int_{t_f}^{0}{dt}=-t_f$

La integral tiene una solución de tipo arco-seno:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$<br /> =\displaystyle \sqrt{\frac{m}{k}}(arcsen1-arcsen0)=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}<br />$

Nos dicen que tarda 0,6s en comprimirse y descomprimirse, luego

$<br /> \displaystyle 0,6s=2t_f=\pi\sqrt{\frac{m}{k}}<br />$

$\displaystyle k=\frac{m\pi^2}{0,6^2}=2,7N/m$

Evidentemente, tiene que haber formas alternativas de resolverlo y ya lo miraremos, pero por ahora algo es algo

Un saludo

[nico_palermo]

Re: Ejercicio rampa-bloque-muelle

Estos son los ejemplos que me hacen dar cuenta que estoy a años luz del conocimiento que quisiera tener!

Electron, una vez mas, lo suyo soberbio!

[Jupa]

Re: Ejercicio rampa-bloque-muelle

WOWW ! Solo decir aplausos! fuera de broma nunca pense mientras iba leyendo que llegaba a la respuesta correcta con todos esos calculos! MIL GRACIAS! ojala tuviese la mitad de tus conocimientos. Gracias una vez mas por ayudar siempre! Saludos!

[Jupa]

Re: Ejercicio rampa-bloque-muelle

Bueno por fin encontre una solución a este problema sin ser la de electr0n que fue la GRAN SOLUCION:

Me salio así: tomando la parte solamente en que la masa comprime el resorte tengo que:

$\displaystyle w=\sqrt{\frac{k}{m}} \Rightarrow \frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{k}{m}}$ donde por letra dice que el tiempo de comprimir y descomprimir el resorte es de $0.60s$ entonces el período $T=2\cdot(0.60)$ entonces me queda que $\displaystyle \frac{2\pi}{2\cdot(0.60)}=\frac{\sqrt K}{\sqrt m} \Rightarrow \frac {\pi^2\cdot m}{0.60^2}= K \Rightarrow K=2.7 N/m$ .
Saludos!

[electr0n]

Re: Ejercicio rampa-bloque-muelle

Ole! Ésa era la clave: considerar el periodo!!

Un bravo para ti, Jupa

Saludos