1r ciclo Uno de cables

[neometalero]

Una varilla de 105cm de larga y de peso despreciable, está sujeta por sus extremos a dos alambres A y B de igual longitud, que cuelgan del techo. La sección de A es de $1mm^2$ y la de B es de $2mm^2$. Los módulos de Young de A y de B son respectivamente, 21000 y 14000kg/mm^2. En qué punto de la varilla debe suspenderse un peso P para que produzca iguales esfuerzos de tensión en ambos alambres?
e iguales deformaciones en ambos alambres?

El apartado b) lo he hecho bien, pero en el a, la pregunta es como expresar el $(\Delta)L$ en uno de los lados para poder resolverlo.

[electr0n]

Re: Uno de cables

Imagina la barra suspendida de los 2 cables (a la izquierda el de 1mm² y a la derecha el de 2mm²), y un peso P colgando en un punto a cierta distancia $d$ del cable de la derecha. El cable de sección $s_1$ sufre una tensión $T_1$ y el de $s_2$, una tensión $T_2$, y la barra se encuentra torcida respecto de la horizontal debido a las deformaciones.



Las ecuaciones de equilibrio quedan

$P=T_1+T_2$

$T_1(L-d)\cdot sen\alpha=T_2d\cdot sen(\pi-\alpha)$

Como $sen(\pi-\alpha)=sen\alpha$, se reducen a

$P=T_1+T_2$

$T_1(L-d)=T_2d$

Resolviendo el sistema obtenemos:

$\displaystyle T_1=\frac{d}{L}P$

$<br /> \displaystyle T_2=\frac{L-d}{L}P<br />$

Ahora, la condición de igualdad de esfuerzos que nos piden se escribirá:

$\displaystyle \frac{T_1}{s_1}=\frac{T_2}{s_2}$

$\displaystyle \frac{T_1}{T_2}=\frac{d}{L-d}=\frac{s_1}{s_2}$

Y si se resuelve el sistema, llegamos a la condición para la distancia d:

$\boxed{\displaystyle d=\frac{s_1}{s_1+s_2}L}$

que para nuestro caso resulta $d=L/3=35cm$.

Saludos!

[neometalero]

Re: Uno de cables

El asunto es que debo resolverlo aplicando la relacion entre modulo de young, deformacion, seccion, tension aplicada y longitud de cable.

$$E=\frac{F/S}{{\Delta}L/L}$$

[electr0n]

Re: Uno de cables

Si te fijas en la resolución, no es necesario....

¿Te lo piden explícitamente?

[Xel]

Re: Uno de cables

Creo que basta con plantear las 2 condiciones que hay: una es que la sección de B es el doble de la de A, y la otra condición es que las tensiones sean iguales.

Pero al fin y al cabo se seguirá empleando las fuerzas que ha deducido electr0n.

A ver, sería algo así:

$\sigma_A = \sigma_B$

$E_A\frac{\delta_A}{L} = E_B\frac{\delta_B}{L}$

$\frac{E_A\delta_A}{E_B\delta_B}=1$

...

$S=\frac{F/E}{\delta/L}= \frac{FL}{E\delta}$

$s_B = 2s_A$

$\frac{F_BL}{E_B\delta_B}=2\frac{F_AL}{E_A\delta_A}$

$\frac{E_A\delta_A}{E_B\delta_B}F_B = 2F_A$

$\frac{x}{L}P = 2\frac{L-x}{L}P$

$x=2(L-x)$

$3x=2L$

$x=\frac{2}{3}L$

Bueno, en mi caso he llamado x a lo que electr0n ha llamado (L-d), pero es lo mismo.

Además no es necesario pensar en el seno del ángulo, puesto que las fuerzas quedan en función de P y por un valor que resulta de una proporcionalidad de distancias, así que también vale hacerlo con distancias horizontales para no pensar en ángulos, pues se seguirá cumpliendo la misma proporcionalidad. Con esto tampoco pretendo mandar a paseo lo que diga electr0n, sólo es un simple detalle ...

[neometalero]

Re: Uno de cables

Bueno, explícitamente no sé, es un problema del boletín de elasticidad, uno de varios en el que el resto los he hecho así, asi que prefiero hacerlo de esa forma.
Me pasó algo parecido en el el esquiador, al estar en cinemática, no pensé en usar conservación de la energía, con lo que era más asequible jeje.
Gracias a los dos!!

[electr0n]

Re: Uno de cables

Además no es necesario pensar en el seno del ángulo, puesto que las fuerzas quedan en función de P y por un valor que resulta de una proporcionalidad de distancias, así que también vale hacerlo con distancias horizontales para no pensar en ángulos, pues se seguirá cumpliendo la misma proporcionalidad.

Eso es cierto, precisamente por la suplementariedad de ángulos que puse; aunque a mí no se me habría ocurrido poner dicha proporcionalidad directamente sin estar la barra horizontal (a veces no me fío y prefiero hacer cálculos adicionales para que esté bien atado).

Se resuelva de un modo o de otro, resulta interesante ver que cuando los esfuerzos son iguales, el resultado no depende del módulo de Young ni de los alargamientos de los cables.

Un saludo

[Xel]

Re: Uno de cables

La verdad es que después de haber analizado tantas barras horizontales biapoyadas, al final casi sale de forma automática el poner las reacciones diréctamente sin pensar, porque se terminan aprendiendo los casos simples con la práctica. ... es ver las fuerzas verticales y paralelas y ya están las reacciones, pin & pan ... .. costumbres que se cogen.