1r ciclo Ping-pong inelástico

[neometalero]

Una pelota de ping pong se deja caer sobre un suelo duro y rebota hasta el 90% de su altura original. Hallar la expresión de la altura alcanzada después del n-ésimo rebote. La expresión de la pérdida de energía y fracción de pérdida de energía después del n-ésimo rebote, los rebotes que dará la pelota hasta que la altura se reduzca un 5% de su valor inicial y el tiempo máximo durante el cual estará rebotando la pelota cuando se le deja caer desde una altura de 5m.

Lo único que no me sale es el último apartado, cuándo considera que ya no bota? Cuando suba 5cm? 1cm?

[[Beto]]

Re: Ping-pong inelástico

Una pelota de ping pong se deja caer sobre un suelo duro y rebota hasta el 90% de su altura original. Hallar la expresión de la altura alcanzada después del n-ésimo rebote. La expresión de la pérdida de energía y fracción de pérdida de energía después del n-ésimo rebote, los rebotes que dará la pelota hasta que la altura se reduzca un 5% de su valor inicial y el tiempo máximo durante el cual estará rebotando la pelota cuando se le deja caer desde una altura de 5m.

Lo único que no me sale es el último apartado, cuándo considera que ya no bota? Cuando suba 5cm? 1cm?

Has calculado mal el porcentaje, el 5 % es 0,25cm, luego como tienes el numero total de choques, simplemente aplica caída libre las veces que sean necesarias, para encontrar el tiempo, intenta encontrar para ello en cuanto se reduce su altura luego de cada choque.

[electr0n]

Re: Ping-pong inelástico

Si no recuerdo mal, se calculaba mediante un límite cuando $n\rightarrow\infty$.

[[Beto]]

Re: Ping-pong inelástico

Si no recuerdo mal, se calculaba mediante un límite cuando $n\rightarrow\infty$.

Si es hasta cuando rebote y se detenga por completo si, entendí mal

[neometalero]

Re: Ping-pong inelástico

Suponía que sería así, debo hallar la expresión del tiempo y deberá incluir algo elevado a n, para hacer un límite.

Beto, no he calculado nada, son dos apartados diferentes, el del 5% de la energía y el otro que se pide el tiempo para una altura inicial de 5m jejeje.

[electr0n]

Re: Ping-pong inelástico

Se trata de expresar con cuidado las distancias recorridas por la pelota en cada rebote y luego calcular el tiempo invertido (MRUA). Después, hay que hacer el límite hasta infinito de la suma de tiempos hasta el n-ésimo rebote.

Antes y después del rebote, la relación entre velocidades es

$v_f=e\cdot v_i$

donde e es el coeficiente de restitución ($e<1$ por ser choques inelásticos).

Para conocer e, usamos el dato de que la altura decrece en un 10% en cada rebote y por consideraciones energéticas:

$\displaystyle mgh=\frac{1}{2}mv_i^2\Rightarrow v_i^2=2gh$

$\displaystyle mg(0,9h)=\frac{1}{2}mv_f^2\Rightarrow v_f^2=2gh\cdot 0,9=0,9v_i^2$

$\displaystyle v_f=\sqrt{0,9}v_i\Rightarrow e=\sqrt{0,9}=\frac{3}{\sqrt{10}}\simeq 0,95$

Y por tanto también:

$h_f=0,9h_i=e^2h_i$

Entonces, el tiempo invertido en la primera caída antes del rebote es

$\displaystyle h=\frac{1}{2}gt_i^2\Rightarrow t_i=\sqrt{\frac{2h}{g}}$

A partir de aquí, tendremos los tiempos para cada rebote, que en ausencia de rozamiento son iguales para la subida y la bajada:

$<br /> \displaystyle t_1=2\sqrt{\frac{2h1}{g}}=2\sqrt{\frac{2e^2h}{g}}=2et_i<br />$

Resulta sencillo ver que el tiempo para el rebote n-ésimo es

$t_n=2e^nt_i$

El tiempo total será un límite de una progresión geométrica:

$<br /> \displaystyle t_{total}=t_i+\sum_{n=1}^{\infty}2e^nt_i=t_i+2t_i\sum_{n=1}^{\infty}e^n=t_i+2t_i\frac{e}{1-e}<br />$

$<br /> \displaystyle t_{total}=t_i\frac{1+e}{1-e}=\sqrt{\frac{2h}{g}}\frac{1+e}{1-e}\simeq\boxed{39s}<br />$

Siempre y cuando no me haya confundido en algún cálculo, ése es el resultado

Un saludo

[neometalero]

Re: Ping-pong inelástico

Como sacas ese 39??? EL primer termino de la raíz, da 1,01 y multiplica a la fracción que vale -2,164...¿?

[electr0n]

Re: Ping-pong inelástico

Si e=0,95, la fracción vale 39. ¿No?

[neometalero]

Re: Ping-pong inelástico

Ahhh jejeje , madre mia, pensaba que era el número e jajaja.

[electr0n]

Re: Ping-pong inelástico

Antes y después del rebote, la relación entre velocidades es

$v_f=e\cdot v_i$

donde e es el coeficiente de restitución ($e<1$ por ser choques inelásticos).

No tendría sentido que fuera el número e...

Un saludo