1r ciclo El muelle conector

[neometalero]

Dos cuerpos iguales de 0.5kg de masa cada uno están unidos mediante un muelle vertical (k=545N/m) en posición vertical. El cuerpo superior es forzado a desplazarse hacia abajo lo suficiente para que la deformación del muelle sea de 5cm y luego se deja libre, con lo que se producirá la oscilación del sistema. Hallar la velocidad el cuerpo superior cuando el inferior comienza a despegarse del suelo.

He hecho un tratamiento simplista de la conservacion de la energia sin mucha fe, pensando que asi no saldría y asi fue jeje. A mi me da1.167m/s pero debe dar al parecer 1.22m/s.

[[Beto]]

Re: El muelle conector

Hola, este ejercicio lo tienes que desarrollar así:

Si realizas el diagrama de cuerpo libre de la masa que esta apoyada en el piso, tendrás que:

$$N=k(\ell_o-y)+mg$$

así obtienes como varía la normal que le ejerce el piso en función de la posición de la masa superior, fíjate que $x=\ell_o-y$ viene a ser la elongación del resorte. Ahora cuando la masa inferior deje de hacer contacto con el piso $N=0$, entonces:

$$y=\ell_o+\frac{mg}{k}$$

Luego, planteando la conservación de la energía mecánica para la masa superior tienes que:

$$mgy_o+\frac{kx_o^2}{2}=mgy+\frac{kx^2}{2}+\frac{mv^2}{2}$$

acá tienes que tomar en cuenta que $x=y-\ell_o$, y considerando (1) se tiene que $x^2=\dfrac{m^2g^2}{k^2}$, finalmente reemplazando esto último y (1) en (2), y luego despejando la velocidad:

$$v=\left[\frac{kx_o^2}{m}-2g\left(x_o+\frac{3mg}{2k}\right)\right]^\frac{1}{2}$$

OjO: no olvides que $x_o=\ell_o-y_o$, te resultará útil al momento de simplificar tu respuesta.

y reemplazando datos se obtiene un valor de $v=1,2\;\mathrm{m/s}$

[neometalero]

Re: El muelle conector

Sólo diré dos cosas: Estás que lo saco yo sólo jajajaja.
Gracias!!

[China]

Hola, Lo primero Feliz año nuevo a todos !! este hilo es muy antiguo, pero como tengo una duda sobre este problema, para no abrir otro igual, lo planteo aquí.

Yo en este problema plantearía 3 situaciones :
1. muelle con su longitud natural son comprimirse por la masa superior
2. situación de equilibrio en la masa superior se cumple mg=kx
3. compresión hacia abajo de la masa superior que una vez liberada comenzará a oscilar

Según yo plantearía la masa de abajo se despega, cuando la masa de arriba regresa a la posición uno, pero no me da el resultado, con lo cual mi planteamiento es incorrecto, la cuestión es que no veo que en la masa de abajo se cumple que $N=k(\ell_o-y)+mg$ no se como el muelle afecta a la masa inferior y este a su vez a la normal. Si alguien me puede explicar. gracias

[Richard R Richard]

Mmm este problema tiene un truquillo si la constante de resorte por la longitud de elongación inicial no es superior al peso de una de las masas nunca se dará el despegue que sucede cuando la tensión del resorte es igual al peso cuando la masa superior está ascendiendo.

[carroza]

Yo en este problema plantearía 3 situaciones :
1. muelle con su longitud natural son comprimirse por la masa superior
2. situación de equilibrio en la masa superior se cumple mg=kx
3. compresión hacia abajo de la masa superior que una vez liberada comenzará a oscilar

Según yo plantearía la masa de abajo se despega, cuando la masa de arriba regresa a la posición uno, pero no me da el resultado, con lo cual mi planteamiento es incorrecto, la cuestión es que no veo que en la masa de abajo se cumple que $N=k(\ell_o-y)+mg$ no se como el muelle afecta a la masa inferior y este a su vez a la normal. Si alguien me puede explicar. gracias

Hola. Este problema, correctamente resuelto por Beto, parte de que la condición para que la masa de abajo se despeque es que la masa de arriba alarge el resorte lo suficente para que la fuerza elástica sobre la bola de abajo sea igual al peso de la bola de abajo. La condición es la que pone beto, para N=0.

A partir de ahi puede usarse la conservación de la energía, que requiere un desplazamiento mínimo $x_0$ hacia abajo, para que se obtengan soluciones reales en la ecuación de la velocidad que pone Beto. Este desplazamiento minimo es $x_0 = 3 m g/K$, es decir, tres veces el alargamiento del resorte si dejamos la masa colgando.

Si el desplazamiento fuera inferior, entonces el muelle oscila, pero la masa inferior siempre está pegada al suelo.

Un saludo

[China]

Vale, pero en momentos distintos a ese en el que N=0, se cumple que $N=k(\ell_o-y)+mg$, y eso es lo que no veo, es decir, por ejemplo cuando la masa superior esta en equilibrio es decir el muelle hace una fuerza que compensa al peso, en este instante cuando vale la normal del suelo sobre la masa inferior?? es decir según la formula anterior sobre la masa inferior esta actuando una fuerza elástica no?? qué fuerza es?, es lo que no veo... gracias

[Richard R Richard]

Hola carroza me pregunto porque tiene que haber energía cinética residual .... El despegue ocurre con N=0, pero la masa superior no tiene porqué tener velocidad, como no llego a un resultado compatible con lo que dos personas afirman pregunto están seguros del procedimiento por qué el resultado 3 mg/k tambien he arribado pero eso implica velocidad final nula cualquier compresión adicional si genera energia cinetica extra.

[carroza]

Vale, pero en momentos distintos a ese en el que N=0, se cumple que $N=k(\ell_o-y)+mg$, y eso es lo que no veo, es decir, por ejemplo cuando la masa superior esta en equilibrio es decir el muelle hace una fuerza que compensa al peso, en este instante cuando vale la normal del suelo sobre la masa inferior?? es decir según la formula anterior sobre la masa inferior esta actuando una fuerza elástica no?? qué fuerza es?, es lo que no veo... gracias

Cuando la masa superior está en equilibrio quiere decir que la fuerza elástica sobre la masa superior va hacia arriba, y cumple, en modulo, $F_e = k x = mg$. O sea, que compensa el peso. En este caso, el principio de acción y reacción, y el sentido común, dicen que la fuerza elástica sobre la masa de abajo va hacia abajo, y se añade al peso, con lo que se cumple, sobre la masa de abajo, que $N = F_e + mg = 2 mg$. O sea, que la normal debe compensar a ambas.

[China]

Graacias, creo que ahora si lo veo, me pasa siempre con las fuerzas de un cuerpo sobre otro, parece que no manejo bien el principio de acción y reacción y parece que el sentido común tampoco...jeje me cuesta ver como actúan las fuerzas aunque resulte obvio. Entonces a ver si entendí, si alguien tira del cuerpo de arriba la fuerza elástica sobre el cuerpo superior será hacia abajo, será en este caso que la normal sobre la masa de abajo N=Fe-P, ? es decir si la Fe sobre el cuerpo de arriba va hacia abajo, esa misma fuerza elástica actuará hacia arriba en el cuerpo de abajo?

[carroza]

Hola carroza me pregunto porque tiene que haber energía cinética residual .... El despegue ocurre con N=0, pero la masa superior no tiene porqué tener velocidad, como no llego a un resultado compatible con lo que dos personas afirman pregunto están seguros del procedimiento por qué el resultado 3 mg/k tambien he arribado pero eso implica velocidad final nula cualquier compresión adicional si genera energia cinetica extra.

Precisamente, cuando $x_0 = 3mg/K$, la energía cinetica de ambas particulas en el despeque se anula. Con ello, realmente la particula de abajo, estrictamente, no llega a despegar. Cuando $x_0 > 3mg/K$, la conservación de la energía nos dice en el momento del despegue que existe una energía cinética de la masa de arriba, que puede arrastrar a la masa de abajo en su subida.

[carroza]

Este problema me recuerda a otro problema que discutimos tiempo atrás de dos balones elasticos que rebotan uno sobre el otro, y sobre el suelo. Arivasm lo recordará, ya que estaba relacionado con los problemas que pone en las oposiciones a profesores de secundaria.

Así que dejadme que reformule el problema de una forma más "divertida":

Considera la trayectoria temporal de dos masas iguales m, unidas por un resorte de constante K, tales que inicialmente están en reposo, una sobre el suelo, y otra verticalmente sobre el resorte, que está comprimido una distancia $x_0$ con respecto a su longitud natural $l_0$.

1) Calcular el valor mínimo de $x_0$ para que la masa inferior se despegue del suelo.

2) Calcular las velocidades de las dos masas, en el instante en el que la masa inferior se despega del suelo.

3) Calcular el instante en el que la masa inferior vuelve a tocar el suelo, y su velocidad en ese instante.

4) Calcular los valores posibles de $x_0$ para que el movimiento sea periódico.

Saludos

[Richard R Richard]

Estoy de acuerdo contigo carroza, sin embargo la pregunta 2 es tan vaga como la pregunta del enunciado que origina el hilo., escribes de "calcular " y no de "hallar la expresion de" puesto no se específica un valor dado de xo, y en el original si ,está claro que es solo mi gusto, y que tú enunciado no da valores numéricos por lo que podría interpretarse como una obviedad solo presentar las ecuaciones.

[carroza]

Este problema me recuerda a otro problema que discutimos tiempo atrás de dos balones elasticos que rebotan uno sobre el otro, y sobre el suelo. Arivasm lo recordará, ya que estaba relacionado con los problemas que pone en las oposiciones a profesores de secundaria.

Así que dejadme que reformule el problema de una forma más "divertida":

Considera la trayectoria temporal de dos masas iguales m, unidas por un resorte de constante K, tales que inicialmente están en reposo, una sobre el suelo, y otra verticalmente sobre el resorte, que está comprimido una distancia $x_0$ con respecto a su longitud natural $l_0$.

1) Calcular el valor mínimo de $x_0$ para que la masa inferior se despegue del suelo.

2) Calcular las velocidades de las dos masas, en el instante en el que la masa inferior se despega del suelo.

3) Calcular el instante en el que la masa inferior vuelve a tocar el suelo, y su velocidad en ese instante.

4) Calcular los valores posibles de $x_0$ para que el movimiento sea periódico.

Saludos

Ok, Richard. Por "calcular..." me refiero a "obtener la expresión de..". ¿Te animas? 4) es el más divertido.

[Richard R Richard]

 ¿Te animas? 4) es el más divertido.

Suena como el auto de al lado en el semáforo que aumenta y reduce las revoluciones de su motor periodicamente,...  Jeje
Ahora estoy en el trabajo, pero mas tarde pico.

[javisot20]

Es interesante Carroza, estaba intentando hallar las expresiones pero reconozco que mi bajo nivel me límita...Estaba en la número 4 pero solo empezando con el enfoque, ¿ puedo preguntarme lo siguiente ?


-Suponiendo que no hay rozamientos ni elementos que perturben la trayectoria.

-Suponiendo que el suelo es perfecto y no sufre deformaciones permanentes.

-Suponiendo que la masa inferior no sufre deformaciones permanentes al rebotar.

-Suponiendo la gravedad terrestre.



Pregunta:

¿ Desde que altura h0 deben caer dos masas iguales m unidas por un resorte de constante k,
para que tras alcanzar ambas masas un estado de reposo respecto la superficie h1 vuelvan exactamente a la altura inicial h0 con v=0 ?

[Richard R Richard]

Pues has esos supuestos,, creo que son validos, y que estamos yendo por un resultado del ejercicio no numerico..
, pero ojo con tu pregunta... no necesariamente que caigan de cierta altura, hará que vuelvan a la misma posición periodicamente, no solo tienes que tener en cuenta la dinamica sino la cinematica.

[Richard R Richard]

Veamos, para China, si el resorte tiene una longitud de compresión natura por el peso de la masa superior lo que encoje el resorte surge por igualación de fuerzas o segunda ley de Newton

$mg=K\Delta L_E$

esa longitud garantiza mantener en equilibrio el peso de una de la masas, para que la normal o reacción del suelo sea nula el resorte tiene que ejercer una fuerza ascendente de igual valor al peso sobre la masa inferior, eso lo logra el resorte cuando esta estirado una longitud de $\Delta L_E$ pero por encima de la longitud de reposo, y desde el punto de equilibrio eso esta ubicado a $2\Delta L_E$ luego para que el resorte pueda estirarse por oscilación hacia esa altura tiene que comprimir por debajo del punto de equilibrio esas $2\Delta L_E$ y como ese punto esta ya a $\Delta L_E$ de la longitud de reposo, el estiramiento mínimo para lograr $N=0$ es $3\Delta L_E$ y como de la fórmula que presente se puede calcular cuanto es ese estiramiento nos queda que $\Delta x_o=\dfrac{3mg}{k}$ . esa sería la condición mínima de despegue, pero la elevación todavía es nula, como bien indica carroza, luego hay que estirar un $\Delta x>\Delta x_o$ para lograr elevar minimamente a la masa inferior.

Ahora piquemos, hago el 4 del desafío,

mi planteo se basa en tres condiciones, el único momento donde posiciones, velocidades y energías se pueden expresar mediante igualdades es justo en el momento del despegue.

Allí se puede aplicar la conservación de la energía,
que luego del despegue la sumatoria de las fuerzas exteriores es nula.
y que para que el movimiento sea periódico las condiciones cinemáticas y dinámicas finales del sistema sean iguales a las iniciales.

veamos la conservación de la Energía mecánica al momento del despegue, la cual es igual a la energía del resorte comprimido antes de ser liberado.

tomo como cero de referencia la atura del extremo superior del resorte en la que el resorte estaría sin solicitación de carga o con longitud natural L_N

$\dfrac 12 k \Delta x_i^2-mg\Delta x_i=\dfrac 12 k \Delta L_E^2+mg\Delta L_E +\dfrac 12 m v^2$

una vez que despega como la sumatoria de las fuerzas exteriores es nula. el centro de masas debe seguir un movimiento de lanzamiento vertical cuya velocidad inicial es la mitad de la velocidad de la masa superior v

$v_{CM}=\dfrac{v}2$

en esas condiciones el tiempo en tocar nuevamente el suelo es $t=\dfrac{2V_{CM}}{g}=\dfrac{v}{g}$

y para que en ese tiempo, ocurra la periodicidad,(que las condiciones finales sean iguales a la finales) el numero de oscilaciones completas de las dos masas debe ser un numero n entero de veces.

luego $t =nT=\dfrac{n2\pi}{\omega}=\dfrac{n2\pi}{\sqrt{\dfrac km}}$

así la periodicidad se cumple en igualdad de tiempos.


$\dfrac{n2\pi}{\sqrt{\dfrac km}}=\dfrac{v}{g}$

despejando la velocidad y reemplazando en la ecuación de la conservación de la energía


$\dfrac 12 k \Delta x_i^2-mg\Delta x_i=\dfrac 12 k \Delta L_E^2+mg\Delta L_E +\dfrac 12 m \left( n2\pi g\sqrt{\dfrac{m}{k}}\right)^2$

reemplazando el valor de L_E y multiplicando los dos miembros por 2/k

$\Delta x_i^2-2\Delta L_E\Delta x_i=\Delta L_E^2(3+ n^2 4\pi^2 )$

que es una ecuación cuadrática que permite todas las números posibles oscilaciones enteras del resorte es decir hay periodicidad cuando $n\in\mathbb Z \wedge n\geq 1$
ahora que veo cundo n=0 tenemos la solución del hipotético despegue con N=0 y velocidad nula.

[JCB]

Hola a tod@s.

No acabo de ver la solución de Beto. Quizás sea un problema de interpretación, pero considero una masa apoyada sobre el suelo, con un muelle unido encima, y a la vez, sobre el muelle, otra masa unida, y del mismo valor que la inferior (todo ello, en posición vertical). Teniendo en cuenta a estos tres componentes, antes de comprimir al muelle, el equilibrio de la masa inferior es

$\sum{F_y}=0$,

$N-mg-mg=0$,

$N=2mg$.

Nota: evidentemente el muelle se habrá comprimido debido a la masa superior, pero a efectos de la determinación de N, no interviene.

Como dice el enunciado, ahora aplico una fuerza sobre la masa superior para comprimir el muelle una cierta altura $\Delta y_1$. La fuerza que debo aplicar es precisamente $k\Delta y_1$. El equilibrio de la masa inferior es

$\sum{F_y}=0$,

$N-mg-mg-k\Delta y_1=0$,

$N=2mg+k\Delta y_1$. Parece que este 2, es lo que me impide llegar a la solución de Beto.

Como ya se ha dicho anteriormente, la condición que se debe cumplir para el izado de la masa inferior es $N=0$. Este nuevo desplazamiento del muelle $\Delta y_2$ es

$N=2mg+k\Delta y_2=0$,

$$\Delta y_2=-\dfrac{2mg}{k}$$

El signo negativo denota que el muelle se encuentra por encima de la referencia 0 de equilibrio (está estirado, en lugar de comprimido).

Ahora pasamos al balance energético. Utilizo como referencia 0 de la energía potencial la posición de equilibrio del muelle.

$-mg\left\vert\Delta y_1\right\vert+\dfrac{1}{2}k\Delta y_1^2=mg\left\vert\Delta y_2\right\vert+\dfrac{1}{2}k\Delta y_2^2+\dfrac{1}{2}mv^2$. Despejando y substituyendo (1),

$v=\sqrt{\dfrac{k(\Delta y_1^2-\Delta y_2^2)}{m}-2g(\left\vert\Delta y_1\right\vert-\left\vert\Delta y_2\right\vert)}=1,3210\ m/s$.

Saludos cordiales,
JCB.