2o ciclo Ligadura de rodadura en una esfera

[[Beto]]

Hola, estoy resolviendo algunos ejercicios del Goldstein, y tengo dificultades con algunos de ellos, este dice así:

Expresar la ligadura de rodadura de una esfera sobre una superficie plana en función de los ángulos de Euler.

No tengo muy claro como resolverlo, en un inicio pensé en que la esfera rotaría como si fuese una rueda, pero seguramente es algo más complicado que eso. Además supongo que en algún lugar de la esfera debo de ubicar algún sistema coordenado que irá rotando junto con la esfera, para así de ese modo encontrar la relación de la ligadura con respecto a los ángulos de Euler respecto a un sistema coordenado fijo en tierra.

Cualquier ayuda se agradece.

[[Beto]]

Re: Ligadura de rodadura en una esfera

Hola, a continuación voy a escribir hasta donde he llegado con ese ejercicio:

Considero la siguiente figura:

Tomando ejes móviles $OXYZ$, de forma que $O'$ es el centro de la esfera $OZ$ un eje vertical, mientras que $OX$ y $OY$ pivotan con la esfera manteniéndose siempre en el plano horizontal (esta parte no se si este bien asumirla). Además considero un sistema de referencia fijo $O'XYZ$, respecto al cual las coordenadas del centro de la esfera son $(x_0,y_0,z_0)$, al ángulo girado alrededor de $OZ$ lo llamaré $\psi$. Además a las componentes de la velocidad de rotación según los ejes $OX$ y $OY$ las llamaré $\dot\varphi$ y $\dot\theta$ respectivamente.

En la imagen siguiente se muestra las proyecciones de las velocidades del centro de la esfera en el plano horizontal:

Así las ligaduras que obtengo son las siguientes:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
¿Esta bien así como lo he hecho? .... y ¿cómo expresaría eso en función de los ángulos de Euler?

[aperea]

Re: Ligadura de rodadura en una esfera

La parte con más trabajo es determinar la velocidad angular en función de los ángulos de Euler (existen varias definiciones equivalentes, yo me refiero a la de la figura). Una vez hecho esto, la condición de ligadura para la rodadura de la esfera es la habitual.

PD. el pdf aparece volteado, mis disculpas

[[Beto]]

Re: Ligadura de rodadura en una esfera

La parte con más trabajo es determinar la velocidad angular en función de los ángulos de Euler (existen varias definiciones equivalentes, yo me refiero a la de la figura). Una vez hecho esto, la condición de ligadura para la rodadura de la esfera es la habitual.

PD. el pdf aparece volteado, mis disculpas

Gracias, entonces la condición de ligadura $\vec v_{cm}=\vec\omega\times\vec r$ me quedaría más o menos así:

$$(\dot x,\dot y,0)=(-\dot\phi\sin\theta\sin\psi-\dot\theta\cos\psi,-\dot\phi\sin\theta\cos\psi+\dot\theta\sin\psi,\dot\phi\cos\theta+\dot\psi)\times(x,y,z)$$

solamente me quedaría operar un poco eso, y listo ... si me equivoco que alguien me corrija.

EDITO: El vector (x,y,z) que he colocado multiplicando vectorialmente a la velocidad angular, sería mas bien (x',y',z'), que son las coordenadas medidas respecto al centro de masa, las cuales me tocaria representarlas respecto a los ángulos de Euler tambien, además no debería de olvidar que x'²+y'²+z'²=R².

[aperea]

Re: Ligadura de rodadura en una esfera

El vector de posicion se refiere al punto de contacto de la esfera con el suelo,por tanto, r=(0,0,-R)

[[Beto]]

Re: Ligadura de rodadura en una esfera

El vector de posicion se refiere al punto de contacto de la esfera con el suelo,por tanto, r=(0,0,-R)

Entonces así:

$$(\dot x,\dot y,0)=(-\dot\phi\sin\theta\sin\psi-\dot\theta\cos\psi,-\dot\phi\sin\theta\cos\psi+\dot\theta\sin\psi,\dot\phi\cos\theta+\dot\psi)\times(0,0,-R)$$