2o ciclo Rotaciones de coordenadas sucesivas

[[Beto]]

Este es otro ejercicio, que no tengo idea de como resolver, dice así:

1. Suponiendo que se efectúan dos rotaciones de coordenadas sucesivas de ángulos $\Phi_1$ y $\Phi_2$, equivalentes a una sola rotación de ángulo $\Phi$. Demostrar que $\Phi_1,\;\Phi_2\;\textrm{y}\;\Phi$ pueden considerarse como lados de un triángulo esférico cuyo ángulo opuesto a $\Phi$ está dado por ángulo que forman los dos ejes de rotación.
2. Demostrar que una rotación alrededor de un eje dado cualquiera, puede obtenerse como el producto de dos rotaciones sucesivas, cada una de $180^o$

En el primer apartado no tengo claro como plantear el ejercicio, principalmente porque no se muy bien las propiedades de un triángulo esférico.

En el segundo apartado, tampoco se me ocurre algo ... esas dos rotaciones que se mencionan imagino que cada una tiene un eje de rotación distinto al de la rotación cualquiera que su producto forma.

Para ambos casos, sospecho que debo de emplear que:

$$\mathbf{Q}=e^{i\mathbf{n.\sigma}(\Phi/2)}$$

que es una generalización de una transformación de rotación alrededor de un eje cualquiera de dirección $\mathbf{n}$, pero no se como aplicar eso, o tal vez se pueda resolver el ejercicio por otro camino.

[jorgext]

Re: Rotaciones de coordenadas sucesivas

Debes recordar que la matriz de rotación esta dada por:

$R_{\hat n} (\phi) = [ I + (\sin \phi) (\hat n \times) + (1-\cos \phi)(\hat n \times)^2 ]$

Si puedes determinar la matriz de rotación entonces puedes aplicar que:

$Tr(R_{\hat n} (\phi)) = 1+2\cos\phi$
$R_{\hat n} (\phi)-R_{\hat n} (\phi)^T = 2 (\sin\phi)(\hat n \times)$

Donde:

$(\hat n \times) = \left( \begin{matrix}<br /> 0 & -n_z & n_y \\<br /> -n_z & 0 & -n_x \\<br /> n_y & -n_x & 0 <br /> \end{matrix}<br /> \right)<br />$

[jorgext]

Re: Rotaciones de coordenadas sucesivas

Se me olvidó agregar que un triángulo esférico cumple que la suma de sus ángulos es siempre menor que $180º<\alpha+\beta+\gamma<540º$

[leobenarrbel]

Re: Rotaciones de coordenadas sucesivas

Se comporta igual que un triangulo plano, en lugar de rotar un plano, rotas una linea, finalmente estas hablando de rotarlo en el mismo eje, por lo tanto, cualquier punto del plano en cualquiera de sus rotaciones sera tangente al mismo plano.... bueno esa seria la explicacion de porque se comporta igual que un triangulo plano, lo otro se explicara con aquello de que la suma de los 3 angulos de cualquier triangulo siempre sera 180 grados, y una rotacion completa (360grados) por consecuencia resulta de 2 rotaciones de 180 cada una, o de la serie de rotaciones cuya suma de angulos resulte 360 grados.