Oscilacion

[Chejo]

1. Una varilla delgada homogenea de longitud 2L se dobla en el puento medio formando un angulo recto. La varilla doblada descansa en equilibrio apoyada sobre un filo, con su centro de masa por debajo del punto de apoyo. Si le aplicamos un suave golpe horizontal empezará a moverse, demuestre que el movimeinto resultante es armonico simple.

[[Beto]]

Re: Ocilacion

Hola, para esto tienes que calcular momento de inercia para la varilla doblada con respecto al punto de apoyo. Luego de esto aplicas la ecuación de la dinámica de rotación:

$\displaystyle I\alpha=-\sum_{1}^N\tau_n$

Donde:

$I$: es el momento de inercia de la varilla doblada.

$\alpha$: la aceleración angular con respecto al centro de giro.

$\tau_n$: cada uno de los torques ejercidos sobre la barilla con respecto al centro de giro.

Pd: Para obtener la ecuación considera una posición arbitraria en el movimiento de la varilla luego de haberle dado el golpe.

[deneb]

Re: Oscilacion

Sin pretender que sea una demostración formal, te indico lo que yo haría

1) Calcular el momento de inercia de tu triángulo
2) evaluar el número de grados de libertad del sistema teniendo en cuenta que todo tu sistema se puede considerar en el centro de masas del triángulo (baricentro del mismo) y que la distancia desde éste a cualquiera de sus vértices es constante.
3) Construir el lagrangiano del sistema con los términos cinético de rotación y potenciales (que serán los que tiendan a restaurar el estado original del sistema y te darán, bajo ciertas condiciones, un movimiento armónico simple)

Teniendo en cuenta que el hamiltorniano ha de ser invariante bajo inversión espacial tus soluciones tendrán paridad definida. En tu lagrangiano no hay términos dependientes de t luego la energía se conservará.

Si lo haces con cuidado observarás que, con una elección arbitraria del cero de potenciales un lagrangiano posible para tu sistema tendrá la forma
$\mathcal L(\phi)\sim L^2\dot\phi^2-(1-cos\phi)\rho$

donde L es la longitud del lado del triángulo y $\rho$ es la distancia desde el baricentro hacia el vértice que sirve de apoyo (en realidad a cualquier vértice del triángulo). Obviamente $\phi$ es el grado de libertad de tu sistema y representa el desplazamiento angular desde el vértice del centro de gravedad. El $1-cos\phi$ resulta de mi elección del cero de potencial.

En el régimen de pequeñas vibraciones $1-cos\phi\sim \phi^2$ luego ya tienes tu oscilador armónico con soluciones de paridad definida.

PS. Se acostumbra a saludar o a dar una pequeña indicación de que es una persona el que quiere resolver el problema. Cuestión de que no somos máquinas obligadas a ayudarte.