Energía potencial de un cuerpo.

[Sergio Ramirez lopez]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

Cierto,la verdad es que habia echo las graficas en el MAPLE VII pero como no habia ampliado solo cortaba en cero.Ha sido un lapsus.Bueno muchas gracias.

[pod]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

Una cuestion en relacion a la situacion de equlibrio que me tiene un poco despistado.Supongamos que aplicamos el principio de D´Alembert a nuestro sistema mecanico.
Se ha discutido que la energia potencial en la situacion del dibujo (vamos para un $\theta$ general) viene dada por:

$<br /> V(\theta)=mgRcos(\theta)+kR^2\theta^2<br />$

Si aplicamos el principo de D´Alembert:
$<br /> \delta V(\theta)=0 \qquad \forall \delta \theta <br />$
siempre que $\delta \theta$ sea distinta de cero.
Si aplicamos dicho principo a nuetro sistema nos queda:

$<br /> \delta V(\theta)=[-mgRsin(\theta)+2kR^2\theta]\delta \theta=0<br />$

Es decir que debe verificarse:

$<br /> sin(\theta)=\biggl(\frac{2kR}{mg}\biggl) \theta<br />$

Mi pregunta es que al resolver esta ecuacion independientemente de lo que tome el valor 2kR/mg la unica solucion es $\theta=0$
¿Como es posible que salgan tres posiciones de equilibrio?
Supongo que es porque el principo de DÁlembert da soluciones de equilibrio estable pero ya no estoy yo seguro.

¿Sólo $\theta = 0$? ¡Qué va! Una imagen vale más que mil palabras. A continuación verás la gráfica de $\sin\theta$ (en azul) y $0.8 \theta$ (en rojo), lo que representan esa ecuación para ${2kR}/{mg}=0.8$.

Como ves, hay un corte para $\theta > 0$. También hay otro para ángulos negativos (justo simétrico a ese). El que haya un corte o no depende del valor de $a = {2kR}/{mg}$. Para $a \ge 1$ no hay ningún corte a parte del trivial. Para $1 > a > 2/\pi$ hay los tres solución a cada lado entre $-\pi/2 \le \theta \le \pi/2$ (que es el rango de ángulos que tiene sentido en nuestro problema). Para valores más pequeños, $a < \pi/2$, matemáticamente la ecuación tiene siempre soluciones (puede tener más para valores de a muy pequeños, infinitas para a=0), pero caen fuera del rango de ángulos del problema.

[Sergio Ramirez lopez]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

Una cuestion en relacion a la situacion de equlibrio que me tiene un poco despistado.Supongamos que aplicamos el principio de D´Alembert a nuestro sistema mecanico.
Se ha discutido que la energia potencial en la situacion del dibujo (vamos para un $\theta$ general) viene dada por:

$<br /> V(\theta)=mgRcos(\theta)+kR^2\theta^2<br />$

Si aplicamos el principo de D´Alembert:
$<br /> \delta V(\theta)=0 \qquad \forall \delta \theta <br />$
siempre que $\delta \theta$ sea distinta de cero.
Si aplicamos dicho principo a nuetro sistema nos queda:

$<br /> \delta V(\theta)=[-mgRsin(\theta)+2kR^2\theta]\delta \theta=0<br />$

Es decir que debe verificarse:

$<br /> sin(\theta)=\biggl(\frac{2kR}{mg}\biggl) \theta<br />$

Mi pregunta es que al resolver esta ecuacion independientemente de lo que tome el valor 2kR/mg la unica solucion es $\theta=0$
¿Como es posible que salgan tres posiciones de equilibrio?
Supongo que es porque el principo de DÁlembert da soluciones de equilibrio estable pero ya no estoy yo seguro.

[pod]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

¿Porqué?

Por que la derivada de una constante es cero! De hecho se le pueden quitar más cosas, pero da igual

Mira lo así: una constante aditiva no es más que un cambio en el cero de energía potencial.

[[Beto]]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

recuerda que a un lagrangiano se le pueden quitar las constantes aditivas.

¿Porqué?

[pod]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

Creo que el signo esta incorrecto en la energia gravitatoria. A mi me sale (salvo constantes)

Cierto

Para $mg>2kr$, las posiciones de equilibrio son dos, una para theta positivo y otra para theta negativo.

¡Tres! $\theta = 0$ (constante) siempre es solución.

Esto es lo que se llama una "ruptura espontanea de la simetría", que es cuando el estado fundamental de un sistema no tiene las simetrías del Lagrangiano (en este caso, simetria frente a reflexiones).

Una imagen vale más que mil palabras, éste es el potencial:

La línea azul representa una situación donde $mg>2kR$. Se ve claramente que la situación simétrica es inestable, mientras que los otros dos equilibrios son estables. Lo de "ruptura espontánea" viene precisamente de que el sistema tiende a caer del equilibrio inestable (simétrico) a otro estable, pero no simétrico.

La línea roja es $mg>2kR$; el único equilibrio que existe es siempre estable, lo que nos da oscilaciones a su alrededor.

Para las gráficas he usado $m g = 1$, $R = 1/2$, $k = 1\pm 0.1$.

[carroza]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

A este lagrangiano parece faltarle el término de energía potencial elástica. Quedaría como algo así (recuerda que a un lagrangiano se le pueden quitar las constantes aditivas:

$\displaystyle L = \frac12 m r^2 \dot\theta^2 + m g R \cos\theta - k r^2 \theta^2 \ .$

Aplicando las ecuaciones E-L:

$m r^2 \ddot\theta + m g R \sin\theta + 2 k r^2 \theta = 0 \ .$

Ya te digo yo que no vas a poder resolver esta ecuación si no es con teoría de perturbaciones

Creo que el signo esta incorrecto en la energia gravitatoria. A mi me sale (salvo constantes)

$\displaystyle L = \frac12 m r^2 \dot\theta^2 - m g R \cos\theta - k R^2 \theta^2 \ .$

Aplicando las ecuaciones E-L:

$m r^2 \ddot\theta - m g R \sin\theta + 2 k R^2 \theta = 0 \ .$


Para $mg<2kR$, tenemos oscilaciones anarmónicas en torno a theta=0, que es la posición de equilibrio (la posicion para la que la energia potencial es mínima).

Para $mg>2kr$, las posiciones de equilibrio son dos, una para theta positivo y otra para theta negativo. Esto es lo que se llama una "ruptura espontanea de la simetría", que es cuando el estado fundamental de un sistema no tiene las simetrías del Lagrangiano (en este caso, simetria frente a reflexiones).

Cuando veas teoría cuántica de campos verás que eso (la ruptura espontánea de la simetría) es muy importante para explicar las interacciones fundamentales, y algo que buscan insistentemente los fisicos de partículas que se llama el bosón de Higgs.

[pod]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

$\displaystyle L=\frac{1}{2}MR^2\dot \theta^2-MgR(1-\cos\theta)$

A este lagrangiano parece faltarle el término de energía potencial elástica. Quedaría como algo así (recuerda que a un lagrangiano se le pueden quitar las constantes aditivas:

$\displaystyle L = \frac12 m r^2 \dot\theta^2 + m g R \cos\theta - k r^2 \theta^2 \ .$

Aplicando las ecuaciones E-L:

$m r^2 \ddot\theta + m g R \sin\theta + 2 k r^2 \theta = 0 \ .$

Ya te digo yo que no vas a poder resolver esta ecuación si no es con teoría de perturbaciones

[[Beto]]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

Bueno he probado resolver la ecuación diferencial y no me sale .

Más bien he observado que hay tres puntos sobre el arco de la circunferencia donde la masa $M$ puede estar en equilibrio, pero solo en uno de ellos obtendrá equilibrio estable.

Para el caso del punto donde alcanzará el equilibrio estable (es decir el punto superior) si se desvía un ángulo muy pequeño a la masita esta realizará un movimiento armónico simple.

Los otros dos casos donde la masa esté en equilibrio será cuando la fuerza elástica ejercida por los dos resortes sea igual a la componente del peso en esa dirección, es decir cuando:

$\displaystyle 2kx=mg\sin\theta$

Es decir las otras dos posiciones donde la masa esta en equilibrio son:

$\displaystyle\theta=\pm\arcsin\left(\frac{2kx}{mg}\right)$

Pd:

• ¿Alguien se sabe algún método para resolver la ecuación diferencial que me quedó al final? aunque bueno eso ya seria un tema para el foro de métodos matemáticos
• Dos fórmulas en este mensaje no se muestran ¿hay algún error?

[pod]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

Pd: Sospecho que si me equivoque

¡De bastante! Es la ecuación del estilo de un péndulo simple

[[Beto]]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

La forma de buscar las ecuaciones del movimiento es simplemente plantear las ecuaciones de E-L

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot\theta} - \frac{\partial L}{\partial\theta}=0\ .$

Te saldrá una EDO de segundo orden.

Creo que ya comprendí .

Veamos entonces la ecuación del movimiento vendría mas a o menos a ser esta:

$\displaystyle MR^2\ddot \theta +MgR\sin\theta=0$

Cuya solución si es que no me he equivocado en los cálculos debe de ser esta:

$\displaystyle \theta= \left(\frac{\omega_0}{MR^2}-\frac{g}{R}\right)+\frac{g}{R}\sin t$

Pd: Sospecho que si me equivoque

[pod]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

Por este camino me queda una integral bastante fea .

No importa el aspecto, lo que importa es el interior.

Siempre puedes meterla en el mathematica y que te pinte la gráfica.

Ahora iendo por el camino de usar una Lagrangiana y tomando como nivel de referencia la parte inferior, yo llego mas a o menos a esto:

$\displaystyle L=\frac{1}{2}MR^2\dot \theta^2-MgR(1-\cos\theta)$

Como dijo carroza solamente hay un grado de libertad se considera como coordenada generalizada a $\theta$.

Ahora de aquí:

• Como $L$ no depende de la parte temporal, se concluye que la energía del sistema se conserva.
• Como $L$, depende de $\theta$ (esto lo digo porque aparece el término $\cos \theta$) , entonces se podria decir que el momento angular del sistema no se conserva (en esta parte no estoy seguro)

Luego aca es donde me quedo pues aun no entiendo bien que idea se tiene que seguir para encontrar a partir del Lagrangiano las ecuaciones del movimiendo de la masa $M$.



En los apuntes se menciona lo siguiente:

Las tres propiedades de simetría más importantes son:

• Homogeneidad del tiempo (invarianza bajo traslaciones temporales) conservación de la energía.
• Homogeneidad del espacio (invarianza bajo traslaciones espaciales) conservación del momento lineal.
• Isotropía del espacio (invarianza bajo rotaciones) conservación del momento angular.

Lo que no me queda claro es como determinar los dos últimos puntos.

En resumen me parece un poco menos complicado resolver el problema usando el Lagrangiano pero me faltan comprender dos cosas:

• ¿Cómo encuentro las ecuaciones de movimiento?
• ¿Cómo determino si hay invariancia bajo traslaciones o rotaciones espaciales?

Supongo que los cálculos están bien, no los voy a repasar

Los dos últimos puntos se resumen en uno sólo. Si una coordenada generalizada $x_i$ no aparece en la lagrangiana (es decir, ésta es invariante ante una translacción $x_i \to x_i + \delta_i$), entonces su momento conjugado

$\displaystyle p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot x_i}\ ,$

es una constante. Luego, si la coordenada generalizada $x_i$ se puede interpretar como una "separación espacial", entonces ese $p_i$ es la cantidad de movimiento en esa dirección. Si la coordenada se puede interpretar como un ángulo (como en tu ejemplo), entonces el momento se interpreta como lo que solíamos llamar momento angular. En general, no tendría por qué ser ninguna de las dos cosas; pero en los ejemplos prácticos suele serlo.

En tu ejemplo, la única coordenada generalizada que tienes aparece en el lagrangiano, y por lo tanto el momento generalizado correspondiente no es una constante.

Sin embargo, los teoremas de integrabilidad dicen que se puede resolver el movimiento hasta cuadraturas (es decir, una integral; no dos) si se encuentran tantas constantes del movimiento como grados de libertad hay. Ya has encontrado una constante del movimiento; y reducir el movimiento a una sola integral ya lo has conseguido, por fea que sea Son teoremas de integrabilidad, no de belleza


La forma de buscar las ecuaciones del movimiento es simplemente plantear las ecuaciones de E-L

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot\theta} - \frac{\partial L}{\partial\theta}=0\ .$

Te saldrá una EDO de segundo orden.

[[Beto]]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

Si sigues esta vía, a lo mejor puede servirte de guía este problema (se lo digo a neofebo, claro ):

http://www.lawebdefisica.com/problem...#anchlegacy001

La integral será más difícil, y a lo mejor no se puede resolver, pero seguro que al menos numéricamente se puede resolver por ordenador para ver las gráficas.

Por este camino me queda una integral bastante fea .

Ahora iendo por el camino de usar una Lagrangiana y tomando como nivel de referencia la parte inferior, yo llego mas a o menos a esto:

$\displaystyle L=\frac{1}{2}MR^2\dot \theta^2-MgR(1-\cos\theta)$

Como dijo carroza solamente hay un grado de libertad se considera como coordenada generalizada a $\theta$.

Ahora de aquí:

• Como $L$ no depende de la parte temporal, se concluye que la energía del sistema se conserva.
• Como $L$, depende de $\theta$ (esto lo digo porque aparece el término $\cos \theta$) , entonces se podria decir que el momento angular del sistema no se conserva (en esta parte no estoy seguro)

Luego aca es donde me quedo pues aun no entiendo bien que idea se tiene que seguir para encontrar a partir del Lagrangiano las ecuaciones del movimiendo de la masa $M$.

Más información acerca de las ecuaciones de Euler-Lagrange en los diccionarios:

http://www.lawebdefisica.com/dicc/lagrange/

En los apuntes se menciona lo siguiente:

Las tres propiedades de simetría más importantes son:

• Homogeneidad del tiempo (invarianza bajo traslaciones temporales) conservación de la energía.
• Homogeneidad del espacio (invarianza bajo traslaciones espaciales) conservación del momento lineal.
• Isotropía del espacio (invarianza bajo rotaciones) conservación del momento angular.

Lo que no me queda claro es como determinar los dos últimos puntos.

En resumen me parece un poco menos complicado resolver el problema usando el Lagrangiano pero me faltan comprender dos cosas:

• ¿Cómo encuentro las ecuaciones de movimiento?
• ¿Cómo determino si hay invariancia bajo traslaciones o rotaciones espaciales?

Gracias de antemano.

[pod]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

Pues una vez que tengas el lagrangiano, usas las ecuaciones de Euler-Lagrange para obtener las ecuaciones de movimiento del sistema.

Más información acerca de las ecuaciones de Euler-Lagrange en los diccionarios:

http://www.lawebdefisica.com/dicc/lagrange/

Alternativamente, olvidandote del lagrangiano, si consideras que la energia total E se conserva, obtienes $d \theta /dt$ en función de $\theta$, y si sabes integrar la ecuacion diferencial, obtienes el movimiento del sistema.

Si sigues esta vía, a lo mejor puede servirte de guía este problema (se lo digo a neofebo, claro ):

http://www.lawebdefisica.com/problemas/probnewton/?msol=legacy001#anchlegacy001

La integral será más difícil, y a lo mejor no se puede resolver, pero seguro que al menos numéricamente se puede resolver por ordenador para ver las gráficas.

(Se ve que tengo el día para promocionar trabajo antiguo en la web )

Probablemente sea divertido poner las lineas de E constante, en un diagrama de fases $d \theta /dt$ frente a $\theta$. Habra una energia en la que pasen cosas graciosas.

¡Shht! ¿divertido? Luego nos quejamos que nos llamen frikis a los físicos

[carroza]

Re: Energía potencial de un cuerpo.

Necesito aprender un pokito más de mecánica Lagrangiana . Voy a ver que más hago después de hallar el Lagrangiano .

Pues una vez que tengas el lagrangiano, usas las ecuaciones de Euler-Lagrange para obtener las ecuaciones de movimiento del sistema.

Alternativamente, olvidandote del lagrangiano, si consideras que la energia total E se conserva, obtienes $d \theta /dt$ en función de $\theta$, y si sabes integrar la ecuacion diferencial, obtienes el movimiento del sistema.

Probablemente sea divertido poner las lineas de E constante, en un diagrama de fases $d \theta /dt$ frente a $\theta$. Habra una energia en la que pasen cosas graciosas.