2o ciclo Condiciones de integrabilidad

[[Beto]]

Me he encontrado con ejercicios donde piden demostrar que un sistema de ecuaciones diferenciales es integrable o no, por ejemplo los siguientes:

1. Probar que el sistema formado por las ecuaciones de movimiento de Euler son integrables, cuando no hay torques externos, esas ecuaciones son las siguientes:

$$<br /> \left\{<br /> \begin{aligned}<br /> I_1\dot\omega_1&=\omega_2\omega_3(I_2-I_3)\\<br /> I_2\dot\omega_2&=\omega_1\omega_3(I_3-I_1)\\<br /> I_3\dot\omega_3&=\omega_1\omega_2(I_1-I_2)<br /> \end{aligned}\right.<br />$$

2. Probar que el sistema formado por las velocidades angulares expresadas en función de los ángulos de Euler no son integrables:

$$\left\{<br /> \begin{aligned}<br /> \omega_x&=-\dot\phi\sin\theta\sin\psi-\dot\theta\cos\psi\\<br /> \omega_y&=-\dot\phi\sin\theta\cos\psi+\dot\theta\sin\psi\\<br /> \omega_z&=\dot\phi\cos\theta+\dot\psi<br /> \end{aligned}\right.<br />$$

¿qué criterio tengo que seguir para resolver esos ejercicios? ... lo que se me ocurre es separar a las funciones con punto, de modo que no dependan de alguna otra con punto, luego si así obtengo una ecuación diferencial de la cual pueda encontrar explícitamente la variable que tiene punto, entonces será integrable, así el primer sistema seria integrable ... pero no se me ocurre algo mas formal para probar lo que me piden.

[aperea]

Re: Condiciones de integrabilidad

Estos tipos de problemas no tienen mucha historia, un sistema mecánico es integrable si es resoluble por cuadraturas. Por ejemplo, el movimiento conservativo en una dimension en presencia de un potencial V(x) siempre es integrable, a partir de la conservación de la energía, E=T+V=cte.

En el primer caso, el movimiento tiene dos constantes, la energía y el momento angular en el sistema de ejes fijos en el espacio, en total cuatro ecuaciones escalares, aunque sólo tres son independientes. Por tanto, el sistema es integrable porque tiene tantas constantes como variables independientes. El llegar o no a la solución por cuadraturas más fácilmente es otra cuestión.

El segundo caso no es un sistema mecánico, es la definición de la velocidad angular en función de los ángulos de Euler, no existen constantes adicionales, asi que en el caso general, no será integrable.