1r ciclo Escalera deslizando apoyada en una pared

[[Beto]]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Una escalera de masa $m$ y longitud $2l$ está apoyada en un piso sin fricción. Si se deja ir con $a_0$ (ángulo inicial), ¿cuál será el ángulo de la escalera cuando pierde el contacto con la pared?

la parte que quiero preguntar es si es que he planteado bien el lagrangiano para el ejercicio, según la figura lo que hecho así:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> T&=\frac{1}{2}ml^2\dot a^2\\<br /> U&=mgl\sin a\\<br /> \Longrightarrow L&=\frac{1}{2}ml^2\dot a^2-mgl\sin a<br /> \end{aligned}<br />$$

Luego:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \frac{\dd}{\dd t}\frac{\dd L}{\dd \dot a}-\frac{\dd L}{\dd a}&=0\\<br /> \Longrightarrow ml^2\ddot a-mgl\cos a&=0\\<br /> \Longrightarrow \ddot a&=\frac{g}{l}\cos a<br /> \end{aligned}<br />$$

Y lo segundo que quiero preguntar es sobre la condición para que se despegue de la pared, newtonianamente, tendría que hacer que $N_{pared}=0$, pero en esta forma ¿qué condición tengo que imponer? ... Tocaría escribir la normal en función del ángulo ¿cierto?

Y la tercera cosa que quiero preguntar es que pasaría si le añado rozamiento con el piso, la ecuación a usar ahora sería:

$$\frac{\dd}{\dd t}\frac{\dd L}{\dd \dot a}-\frac{\dd L}{\dd a}=Q_a$$

donde $\dst Q_a=-\frac{\dd U}{\dd a}=-mgl\cos\alpha$, aunque así me quedaría algo extraño pues se cancelaría con el término de la energía potencial ... entonces debe de ser de otra forma ¿cómo haría?

[aperea]

Re: Escalera deslizando apoyada en una pared

Hola Beto,

Resolver problemas para fuerzas de ligadura es más laborioso, te adjunto un pdf con un resumen y ejercicios de formulacion lagrangiana, que puede serte util. En el caso que propones, existen dos grados de libertad, x la distancia horizontal y alpha, el angulo respecto a la horizontal. Estas dos variables no son independientes, y estan relacionadas por la ecuación de ligadura que establece que la escalera está apoyada en todo momento en la pared. Matemáticamente, la ecuación de ligadura es x=2L*cos(alpha).

La energía cinética es la suma de la energía de rotación de la varilla de lado L, respecto a su centro de masa, con velocidad angular alpha_punto, más la velocidad lineal del centro de masas, (xcm_punto, ycm_punto), donde xcm=x-Lcos(alpha), ycm=Lsin(alpha). Derivando respecto al tiempo se obtiene la velocidad del centro de masas. La energía potencial es la que escribes, mgycm.

Como es un sistema con fuerza de ligadura debemos definir un lagrangiano modificado como la suma del lagrangiano L, más el producto de la fuerza de ligadura, le has llamado N, por la expresión matemática de la ligadura=0, esto es, L'=L+N(x-2Lcos(alpha).

Para determinar las ecuaciones del movimiento, resolvemos las ecuaciones de Euler-Lagrange para las variables x,alpha, junto con la ecuación de ligadura. De ahí, podemos obtener N en función de alpha. Para ello, sería necesario utilizar la conservación de la energía, básicamente la relación entre alpha_punto y alpha.

La escalera se separa de la pared cuando N=0. Espero que con esto puedas hacerte con este problema, y con los análogos. Casi todos pueden resolverse siguiendo el mismo esquema.

Un saludo

[[Beto]]

Re: Escalera deslizando apoyada en una pared

Hola, según lo que me dices:

La energía cinética es la suma de la energía de rotación de la varilla de lado L, respecto a su centro de masa, con velocidad angular alpha_punto, más la velocidad lineal del centro de masas, (xcm_punto, ycm_punto), donde xcm=x-Lcos(alpha), ycm=Lsin(alpha). Derivando respecto al tiempo se obtiene la velocidad del centro de masas. La energía potencial es la que escribes, mgycm.

Como es un sistema con fuerza de ligadura debemos definir un lagrangiano modificado como la suma del lagrangiano L, más el producto de la fuerza de ligadura, le has llamado N, por la expresión matemática de la ligadura=0, esto es, L'=L+N(x-2Lcos(alpha).

La energía cinética:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> T&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{12}m(2l)^2\right)\dot\alpha^2+\frac{1}{2}m(\dot x_{cm}^2+\dot y_{cm}^2)\\<br /> \Rightarrow T&=\frac{1}{6}ml^2\dot\alpha^2+\frac{1}{2}m[(\dot x+l\dot\alpha\sin\alpha)^2+(\dot\alpha l\cos\alpha)^2]\\<br /> \Rightarrow T&=\frac{2}{3}ml^2\dot\alpha^2+ml\dot x\dot\alpha\sin\alpha+\frac{1}{2}m\dot x^2<br /> \end{aligned}<br />$$

La energía potencial:

$$U=mgl\sin\alpha$$

Y la condición de Ligadura $x=2l\cos\alpha$ haría que se pueda escribir la energía cinética de la barra como:

$$T=\frac{2}{3}ml^2\dot\alpha^2$$

Obteniendose finalmente el lagrangiano modificado de la siguiente manera:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> L'&=L+N(x-2l\cos\alpha\\<br /> L'&=\frac{2}{3}ml^2\dot\alpha^2-mgl\sin\alpha+N(x-2l\cos\alpha)<br /> \end{aligned}<br />$$

En mi anterior post el error que cometí fue imaginar a la barra en todo momento apoyada en la pared, y además me he estado olvidando de sumar la energía cinética de rotación respecto del centro de masa de los sólidos.

[aperea]

Re: Escalera deslizando apoyada en una pared

Sí, lo unico es que no es aconsejable sustituir la condicion de ligadura antes de tiempo, sobre todo si quieres determinar el valor de N, para saber cuando se separa de la pared. Se deben
obtener las tres ecuaciones, una para x, otra para alpha, y la condición de ligadura. Tenemos tres ecuaciones para obtener alpha(t), N, x(t). Y no debes olvidar que la ecuación adicional
de conservación de la energía, es la que te permite obtener N como función de alpha, al eliminar alpha_punto.

[[Beto]]

Re: Escalera deslizando apoyada en una pared

Resolviendo obtengo la fuerza de ligadura total del sistema, la cual luego la puedo descomponer en sus respectivas componentes, pero ¿si quisiera encontrar cada una por separado? por ejemplo en este ejercicio habría dos normales una en la pared y otra en el piso, y la que se hace cero es la de la pared ¿En que forma las escribo en el lagrangiano?

[aperea]

Re: Escalera deslizando apoyada en una pared

Tal como está escrito N(x-2Lcos(alpha), N será la fuerza en la dirección positiva de la coordenada x, esto es, la fuerza de la reacción en la pared. Si quisieras obtener la fuerza de reacción M en la dirección y, deberías añadir el término M(y-2Lsin(alpha)), y considerar y como variable independiente con su ecuación de movimiento asociada. Tanto N como M son fuerzas que dan cuenta del efecto combinado de la pared y el piso. Para discriminar aún más, tendrias que añadir todavia más variables supuestamente independientes, con condiciones de ligadura adicionales, como los dos angulos de la barra con los ejes, alpha y beta, independientes pero con la condición de ligadura alpha+beta=Pi/2. Todo esto debe llevarte a la resolución del problema coordenada a coordenada, de forma similar a como lo harías con la ley de newton para fuerzas y momentos.

[Jose D. Escobedo]

Re: Escalera deslizando apoyada en una pared

Tu lagrariano en el centro de masas deveria ser igual a:

$\dst L= \frac{1}{2}m \dot x^2 + \frac{1}{2} m \dot y^2 + \frac{1}{2} I \dot \theta^2 - mgy$...(1)

con las siguientes constraints:

$y = l \sin \theta$ $\Longrightarrow \dot y = l \cos \theta \dot \theta$...(2)
y
$x= l \cos \theta$ $\Longrightarrow \dot x =- l \sin \theta \dot \theta$...(3)

tambien tienes que considerar que $\dst I =\frac{1}{12} m (2l)^2 = \frac{1}{3}m l^2$...(4)

De todo lo anterior resulta que:

$\dst \ddot \theta= -\frac{3}{4} \frac{g}{l} \cos \theta$...(i)

Cuando la escalera deja de tocar la pared el termino del lagrariano $\dst \frac{1}{2} m \dot x^2 =C$ se hace constante entonces $\ddot x = 0$ que de la expresion (3) resulta que:

$\dst \ddot \theta = - \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \dot \theta^2$...(ii) puesto que $\ddot \theta$ no es igual a cero.

de (i) y (ii) encontraras la velocidad angular y la posicion angular en el momento de desprendimiento de la pared.

Finalmente, tienes que integrar (i) e imponer la condicion obtenida anteriormente de (i) y (ii)

a mi me dio este resultado: $\dst \sin \theta = \frac{2}{3} \sin \theta_o$ teniendo en cuenta $\theta_o$ como la posicion inicial y partiendo del reposo $\dot \theta_o = 0$


Espero haberte ayudado algo Beto

Saludos
Jose