2o ciclo Péndulo

[[Beto]]

Hola, este ejercicio esta un poco más complicado que los otros que he estado haciendo, dice así:

Un péndulo plano consiste en una varilla uniforme de longitud $2l$ y espesor despreciable $m_1$ con una masa suspendida en un plano vertical en un extremo. En el otro extremo un disco uniforme de radio $R$ y masa $m_2$ se adjunta a la varilla con un pivote de manera que puede girar libremente en su propio plano, que es el plano vertical. Escriba las ecuaciones de movimiento en la formulación de Lagrange.

Según la descripción del ejercicio y para que les sea más fácil ayudarme o decirme si me lo imaginé mal , me parece que el sistema va de la siguiente manera:

Luego tocaría calcular la energía potencial gravitatoria y la energía cinética para armar la lagrangiana del sistema, para ello tomo como referencia el punto $A$, luego:

Cálculo de la energía potencial:

$$U=-m_1gl\cos\theta-m_2g(2l\cos\theta+d\sin\varphi)$$

Cálculo de la energía cinética:

lo hago en dos partes:

(a) Para la barra:

$$T_{barra}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}m4l^2\right)\dot\theta^2$$

(b) Para el disco:

Y acá es donde tengo problemas pues no se bien como plantear cual es la energía cinética que debería de tener, yo la escribiría de la siguiente manera:

$$T_{disco}=T_P+T_A$$

es decir la energía cinética de rotación sería la energía cinética de rotación respecto del punto pivote $P$ más la energía cinética de traslación del centro de masa del disco respecto del punto pivote $A$, en ese sentido:

$$T_p=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}m_2R^2+m_2d^2\right)\dot\varphi^2$$

y

$$T_A=\frac{1}{2}m_2(\dot x^2+\dot y^2)$$

donde:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \dot x&=-d\dot\varphi\sin\varphi+2l\dot\theta\cos\theta\\<br /> \dot y&=d\dot\varphi\cos\varphi-2l\dot\theta\sin\theta <br /> \end{aligned}<br />$$

entonces ... ¿lo he planteado bien?

[aperea]

Re: Péndulo

Siendo el disco un solido rigido plano, su energía cinética puede calcularse de dos formas

a) como suma de la energía cinética del cm, más la energía cinética de la rotación respecto al cm,

b) igual a la energía de cinética de rotación respecto al centro instantáneo de rotación (CIR) que no coincide con P.

El CIR sería dificil determinarlo, es mejor tomar la opcion a).

La forma que propones de resolverlo mezcla a) y b), es errónea, ya que asumes que P=CIR.

Lo demás para mi está bien.

[[Beto]]

Re: Péndulo

Siendo el disco un solido rigido plano, su energía cinética puede calcularse de dos formas

a) como suma de la energía cinética del cm, más la energía cinética de la rotación respecto al cm,

b) igual a la energía de cinética de rotación respecto al centro instantáneo de rotación (CIR) que no coincide con P.

El CIR sería dificil determinarlo, es mejor tomar la opcion a).

La forma que propones de resolverlo mezcla a) y b), es errónea, ya que asumes que P=CIR.

Lo demás para mi está bien.

Gracias ... es un alivio darse cuenta de estos errores antes del examen, y no después de el. Entonces corrigiendo la expresión obtenida para la energía cinética, tendría que calcularla así:

$$T_{disco}=T_{traslacion~ (cm)}+T_{rotacion~ (cm)}$$

donde el término que me ha quedado mal sería el de la energía cinética de rotación del disco, y la tendría que cambiar por:

$$T_p=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}m_2R^2\right)\dot\varphi^2$$

[aperea]

Re: Péndulo

Eso es.