1r ciclo colisiones

[nikeromeo1]

Un cuerpo de masa de 3 kg. se desliza, sin fricción, sobre una mesa horizontal con una velocidad inicial 9 m/s. Frente a él, moviéndose en la misma dirección y sentido se encuentra el cuerpo de masa 4 kg. cuya velocidad inicial es 3 m/s, éste tiene unido un resorte en la parte de atrás, cuya constante elástica es k = 1120 N/m, ¿cuál será la máxima compresión del resorte cuando los cuerpos choquen?

[Stormkalt]

Re: colisiones

Hola nikeromeo1:

¿En qué parte de la resolución te trabas?

¡Saludos!

[GNzcuber]

Re: colisiones

Hola,

Si tomamos como referencia el cuerpo unido al muelle creo que sale más fácil. Por lo tanto los datos ahora son:
- La velocidad de la masa unida al muelle es 0 m·s⁻¹.
- La velocidad del otro cuerpo es la suma de ambas velocidades: 12 m·s⁻¹.

¿Cuánto se comprimirá el muelle? Como no hay rozamiento, la máxima compresión del resorte es cuando toda la energía cinética del primer cuerpo se consume en trabajo, pero esta energía no se ha perdido porque estamos en un sistema de energías conservativas, por tanto el trabajo realizado tuvo que almacenar energía potencial en el muelle.

Sin embargo la energía cinética ha variado, porque colisiona inelásticamente (los cuerpos se van unidos) con la masa $\dst m_2$.

$$\dst K_1+K_2=K$$

$$\dst \frac{m_1\cdot v_1^2}{2}+\frac{m_2\cdot v_2^2}{2}=\frac{(m_1+m_2)\cdot v^2}{2}$$

$$\dst v=v_1\sqrt{\frac{m_1}{m_1+m_2}}=12m\cdot s^{-1}\sqrt{\frac{3}{3+4}}=7.86m\cdot s^{-1}$$

Esta energía cinética es la que se transformará en energía potencial:

$$\dst K=U$$

$$\dst \frac{(m_1+m_2)\cdot v^2}{2}=\frac{k\cdot \Delta{x}^2}{2}$$

Sólo tenés que despejar "x": $\dst \Delta{x}=v\sqrt{\frac{m_1+m_2}{k}}=7.86m\cdot s^{-1}\sqrt{\frac{(3+4)kg}{1120N\cdot m^{-1}}}=0.62m$

Saludos!

[niestsnie]

Re: colisiones

Hola a todos

La máxima compresión del muelle corresponde al mínimo de distancia entre las masas. En el instante de la máxima compresión la velocidad relativa entre masas es 0, ya que corresponde con la derivada temporal, y por tanto las masas tienen la misma velocidad para cualquier observador inercial. Por tanto en el momento de máxima compresión el sistema se mueve con la misma velocidad del centro de masas; despreciando la masa del muelle.

En este estado se pueden calcular la modificación de energía cinética de cada masa y sumarlas. Se verá que la suma no es nula. De acuerdo con el principio de conservación de la energía esta energía debe compensarse con la energía absorbida por el muelle.

Saludos.

[GNzcuber]

Re: colisiones

He estado pensando en mi resolución, y me he dado cuenta que no es correcta, porque el cálculo que estoy haciendo es como si las dos masas chocaran y unidas se deslizarían hasta comprimir el muelle, cosa que no es cierta.

Por tanto, la energía cinética que se transforma en energía potencial será la diferencia entre la energía que llevaba la primera masa y la energía después del choque inelástico:

$$\dst W=\Delta K=\left|K_f-K_i\right|=\frac{m_1\cdot v^2_1}{2}-\frac{(m_1+m_2)\cdot v^2}{2}=U$$

Sin embargo lo que siempre se conserva es el momento lineal:

$$\dst p_1+p_2=p\Rightarrow m_1\cdot v_1 =(m_1+m_2)\cdot v\Rightarrow v=v_1\frac{m_1}{m_1+m_2}=12m\cdot s^{-1}\frac{3}{3+4}=5.15m\cdot s^{-1}$$

Sustituyendo en (1):

$$\dst U=\frac{3kg(12m\cdot s^{-1})^2-(3+4)kg(5.15m\cdot s^{-1})^2}{2}=123.17J$$

Y ahora sí, podemos hallar la compresión del muelle:

$$\dst U=\frac{k\cdot (\Delta x)^2}{2}\Rightarrow \Delta x=\sqrt{\frac{2U}{k}}=\sqrt{\frac{2\cdot 123.17J}{1120N\cdot m^{-1}}}=0.47m$$

Nota: En mi primer mensaje consideré que la suma de las energias cinéticas era igual a la resultante, pero al ser un choque inelástico esto no es cierto, la energía cinética final es menor.

niestsnie, veo que tu planteamiento, además de interesante, es diferente porque has considerado que el muelle quedaría entre las masas, yo en el enunciado entiendo que chocan las masas y detrás de una de ellas hay un muelle que se comprime.

En tu situación, como la masa del muelle es despreciable y considerando las masas como puntuales:

$$\dst r_{CM}=\frac{m_1\cdot r_1+m_2\cdot r_2}{m_1+m_2}$$

Como has dicho, a la mínima distancia la velocidad de las masas coincide con la del centro de masas:

$$\dst v_{CM}=\frac{m_1\cdot v_1+m_2\cdot v_2}{m_1+m_2}=\frac{3kg9m\cdot s^{-1}+4kg3m\cdot s^{-1}}{7kg}=5.57m\cdot s^{-1}$$

Supongo que con esto puedo hacer la diferencia de energías:

$$\dst U=K_1+K_2-K=\frac{m_1v^2_1}{2}+\frac{m_2v^2_2}{2}-\frac{(m_1+m_2)v^2}{2}$$

$$\dst U=\frac{3kg(9m\cdot s^{-1})^2+4kg(3m\cdot s^{-1})^2-7kg(5.57m\cdot s^{-1})^2}{2}=30.91J$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
No veo por qué hay tanta diferencia, porque si la energía se conserva ¿Qué más da si el muelle está entre las masas o por detrás de una de ellas?

Aunque haya tomado como sistema de referencia la masa con el muelle (en mi planteamiento) ¿No debería dar lo mismo?

¿Hay alguna manera de sacar la variación de longitud con (2)?

Gracias!