Otras carreras Coordenadas generalizadas

[chandal]

Buenas.

Quería saber si puedieran echarme una mano con este problema. En realidad, el mayor problema que tengo es de expresar las coordenadas x e y de la partícula para después poder desarrollar el resto del problema, ya que tengo las soluciones. Aquí dejo el enunciado:

Una cuenta de masa m está ensartada en un anillo circular de radio R. La masa está
sometida a la fuerza peso y despreciamos el rozamiento. El anillo está girando alrededor
de su diámetro vertical con velocidad angular ω conocida. Escoger coordenadas
generalizadas apropiadas, determinar las ecuaciones del movimiento, y hallar las
posiciones de equilibrio (respecto al anillo) de la masa.

Gracias.

[Entro]

Re: Coordenadas generalizadas

¿Radio y ángulo?

[chandal]

Re: Coordenadas generalizadas

Radio R, y supongo que ángulo pues el que forme la masa con la vertical

[Entro]

Re: Coordenadas generalizadas

No, digo que si no te sirven esas como coordenadas generalizadas??

[chandal]

Re: Coordenadas generalizadas

Sí, en eso había pensado, pero no se como poner x e y, porque si por ejemplo la masa estuviera en el cuarto cuadrante tendría las expresiones $x=Rsen \theta$ e $y=Rcos \theta$, pero creo que también habría un término con la velocidad angular del aro, pero no se como ponerlo.

Gracias.

[Entro]

Re: Coordenadas generalizadas

tienes dos giros... uno del anillo, uno de la cuenta... ¿cuántos ángulos te harán falta?

[chandal]

Re: Coordenadas generalizadas

luego también necesito el ángulo de giro del aro??
Entonces pudieran ser las coordenadas de la partícula algo así:
$x=Rsen \theta + Rsen\omega t$
$y=Rcos \theta + Rcos\omega t$

[Entro]

Re: Coordenadas generalizadas

Pero para qué quieres la x y la y?

no es mejor trabajar con un angulo $\theta$ y $\phi$ (uno para la partícula en el anillo , y el otro el ángulo de giro del anillo en sí mismo)

Escribe la energía cinética del sistema con esas variables sin recurrir a la x o a la y

Postdata: El sistema en cartesianas tendrías que definirlo en x,y,z en todo caso, pero es mejor que uses solo las coordenadas generalizadas.

[chandal]

Re: Coordenadas generalizadas

Pero como puedo escribir el lagrangiano sin tener las coordenadas x e y? Eso creo que no me lo han explicado. Si fueras tan amable de explicarme como conseguirlo te lo agradeceria.

[Entro]

Re: Coordenadas generalizadas

La mecánica lagrangiana tiene la virtud de poder ser descrita con las coordenadas adaptadas a tu sistema. Es decir, no siempre hay que usar las típicas (x,y,z).

En tu sistema tienes una partícula (la cuenta) confinada en un anillo. El anillo tiene un radio fijo (con lo cual no es un grado de libertad), la cuenta puede rodar por el anillo, así que es importante tener controlado el ángulo de giro de dicha cuenta $\theta$. Además el anillo gira, respecto a su diametro vertical (es decir que describirá un ángulo respecto a la dirección X de un sistema cartesiano, por decir algo) el ángulo de giro vendrá dado por $\phi$.

Así que supongo que la energía cinética vendrá dada por:

$T=\frac{1}{2}m(R^2\dot{\theta}^2+R^2sin^2\theta\dot{\phi}^2)$

Intenta razonar del por qué de esta energía. Prueba ahora a definir la energía potencial...

[chandal]

Re: Coordenadas generalizadas

La energía potencial sería $U=mgRcos \theta$ no?
No veo porque en la energía cinética aparece en el seno los dos ángulos, y una de ellos derivados.

[Entro]

Re: Coordenadas generalizadas

$T=\frac{1}{2}m(R^2\dot{\theta}^2+R^2(sin^2\theta)\dot{\phi}^2)<br />$

Así mejor?

La energía potencial tiene buena pinta.

[lucass]

Re: Coordenadas generalizadas

Lo que aparece en la expresión de T de Entro es el radio de giro de la cuenta debido al giro del anillo.

$T=\frac{1}{2}m(R^2\dot{\theta}^2)+\frac{1}{2}m(r^2\dot{\phi}^2)$

con

$r=R sin\theta$

Si hacés los dibujos vas a ver por qué.
Después, las ecuaciones de Lagrange son las mismas independientemente de las coordenadas con las que trabajes. En este caso:

$\dst \frac{d}{dt}(\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \theta}})-\frac{{\partial L}}{{\partial \theta}}=0$

$\dst \frac{d}{dt}(\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \phi}})-\frac{{\partial L}}{{\partial \phi}}=0$

Después, si vos querés escribir $\vec r(t)$ tenés, según como elijas los ángulos $\theta$ y $\phi$, una cosa así:

$\dst \vec r = (R sin \theta sin \phi , R sin \theta cos \phi , R cos \theta)$

pero ojo porque depende de cómo elijas a los ángulos, así que no te fíes tanto de esta expresión.
Saludos!