1r ciclo Multiplicadores Lagrange

[elke]

Alguien me puede poner un ejemplo claro de aplicación de los multiplicadores de Lagrange en las ecuaciones del movimiento de Euler-Lagrange? Por más que intento ver, no sé aplicarlos y me estoy volviendo majareta
Gracias

[[Beto]]

Re: Multiplicadores Lagrange

Si usas la función búsqueda del foro encontrarás muchos ejemplos.

[alejandrito29]

Re: Multiplicadores Lagrange



mira considera el caso de una bolita desplazandose como en la figura. Claramente la energia cinetica se puede plantear en coordenadas circulares y hay una restriccion que dice que $r=R$ por que de lo contrario la bolita se hundiria.

Usando el formalismo del Goldstein donde la accion esta dada por $\int (L+\lambda f)$ donde $f(r)=0$, el nuevo "lagrangeano restringido" te queda de la forma:

$L=\frac{m}{2}( \dot{r}^2+r^2 \dot{\theta}^2)-mgr cos \theta - \lambda (r-R)$

Luego aplicas las condiciones de Euler Lagrange en $\lambda$ y queda que $r=R$

aplicas euler lagrange en $r$ y, considerando lo del parrafo anterior llegas a :

$\lambda = mg cos \theta - m r \dot{\theta}^2$

variando la accion ahora en theta llegas a que :

$\ddot{\theta}=\frac{g}{R}sin \theta$ la multiplicai por $\dot{\theta}$
$\dot{\theta}\ddot{\theta}-\dot{\theta}\frac{g}{R}sin \theta=\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}\dot{\theta}^2+\frac{g}{R}cos \theta)=0$

por lo tanto $\frac{1}{2}\dot{\theta}^2+\frac{g}{R}cos \theta=Cte$

luego llegai a que $\lambda = 3m g cos \theta - 2 m R Cte$

pero usando la condicion de que para $\theta=0$ entonces $\lambda$ que representa a la fuerza normal vale $mg$ entonces $C=\frac{g}{R}$ por tanto
$\lambda=Normal=mg(3cos \theta-2)$

pd: lee pag 44 goldstein, pueden haber errores en mis calculos, ya que es mi cuaderno de clasica que no le veia hace ene tiempo, pero creo que los hayan

[elke]

Re: Multiplicadores Lagrange

Muchas gracias!!