2o ciclo Partícula que se mueve sobre superfice interior de un cilindro

[BACANALATOR]

Hola buenas tardes,

Estoy empezando con mecánica teórica y este es mi primer problema a ver si consigo realizarlo correctamente.

PROBLEMA: Se trata de un cilindro x^2+ y^2 = R^2, con radio R. Hay una masa m que se mueve sobre la superficie interior del cilindro. La particula sufre la acción de una fuerza central dirigida hacia el origen de coordenadas, F = -k·r. Hay que tener en cuenta la gravedad.
BIen vamos por pasos:
1)Cuantos grados de libertad y ligaduras tiene el sistema? Bien, GDL = 3N -k (N = nº particulas y k = nº de ligaduras). Bien la partícula se mueve en todo momento sobre la superficie lo que una ligadura para posiciones Así, tenemos 1 ligadura y por lo tanto 2 grados de libertad.

2)Cual es el nº minimo de coord generalizadas necesarias? Proponga una expresion de la ecuacion de la ligadura.
El nº minimo serán 2 coordenadas. Vamos a introducir 3N-K variables independientes nuevas: Bien aqui ya ando perdido, supongo que las independientes serían r y \theta pasando a polares pero no estoy seguro.

3)Haciendo elecc de coord generalizadas adaptadas al problema encontrar el lagrangiano.

4)Comentar conservacion de energia, momentos lineales y angulares. ¿cual es el numero maximo de cantidades indep que puede tener el sistema?

Bien a partir del punto 2 no tengo claro como hay que continuar, el libro de texto que tengo es muy abstracto y no tengo problemas resueltos, si alguien pudiese esclarecerme un poco el camino a seguir estaría muy agradecido.

Muchas gracias, saludos.

[polonio]

Re: Partícula que se mueve sobre superfice interior de un cilindro

Hola buenas tardes,

Estoy empezando con mecánica teórica y este es mi primer problema a ver si consigo realizarlo correctamente.

PROBLEMA: Se trata de un cilindro x^2+ y^2 = R^2, con radio R. Hay una masa m que se mueve sobre la superficie interior del cilindro. La particula sufre la acción de una fuerza central dirigida hacia el origen de coordenadas, F = -k·r. Hay que tener en cuenta la gravedad.
BIen vamos por pasos:
1)Cuantos grados de libertad y ligaduras tiene el sistema? Bien, GDL = 3N -k (N = nº particulas y k = nº de ligaduras). Bien la partícula se mueve en todo momento sobre la superficie lo que una ligadura para posiciones Así, tenemos 1 ligadura y por lo tanto 2 grados de libertad.

2)Cual es el nº minimo de coord generalizadas necesarias? Proponga una expresion de la ecuacion de la ligadura.
El nº minimo serán 2 coordenadas. Vamos a introducir 3N-K variables independientes nuevas: Bien aqui ya ando perdido, supongo que las independientes serían r y \theta pasando a polares pero no estoy seguro.

Pues si usamos coordenadas cilíndricas, las coordenadas generalizadas son $\{ \theta, z\}$. La ligadura (permanecer sobre la superficie interior del cilindro) es holónoma y es la propia ec. del cilindro en cilíndricas: $r=R$.

Intenta seguir con el lagrangiano...

[BACANALATOR]

Re: Partícula que se mueve sobre superfice interior de un cilindro

Hola Polonio, gracias por la respuesta.

Vamos a ver,desde el punto 2:

2)Cual es el nº minimo de coord generalizadas necesarias? Proponga una expresion de la ecuacion de la ligadura.
El nº minimo serán 2 coordenadas. Vamos a introducir 3N-K variables independientes nuevas:Elegimos (\theta y z) . La expresion de la ligadura sería, pasando a cilindricas:
x= \rho ·cos \theta , y= \rho ·sen \theta , z=z, sustituyendo en ec cilindro queda:
Ec ligadura : \rho ^2 = r^2;

3)Haciendo elecc de coord generalizadas adaptadas al problema encontrar el lagrangiano.

L = T-Vg, siendo Vg= m·g·z; T= m/2· (x'+y'+z') = m/2· ( (-r·senO·O')^2 + (r·cosO·O')^2 + 1) = m/2· (r^2 · O'^2 +1);
Asi, el lagrangiano L = m/2· (r^2 · O'^2 +1) - mgz ;
¿Está bien hecho así? ¿Y la fuerza F = -k·r donde se incluye?

4)Comentar conservacion de energia, momentos lineales y angulares. ¿cual es el numero maximo de cantidades indep que puede tener el sistema?
La energia mecánica se conserva porque el lagrangiano no contiene el tiempo explicitamente. El momento angular se conserva porque el sistema es simétrico respecto a los ejes.
El momento lineal no lo tengo claro?? ;; El nº maximo de cantidades indepentes son 4 ( 2 de posicion y 2 de velocidad por moverse en 2 dimensiones;

5)Resolver las ecuaciones de lagrange sabiendo que la altura inicial es h, se encuentar inicialmente en el plano YZ y su velocidad inicial es nula.
Este apartado no puedo resolverlo si no está bien el 3) . Creo que se haría encontrando las ecuaciones derivando el lagrangiano.

Saludos y gracias

[Jose D. Escobedo]

Re: Partícula que se mueve sobre superfice interior de un cilindro

A mi me resulta un lagrariano igual a esto:
$\dst L= \frac{1}{ 2}m({\dot x}^{2 } +{\dot y}^{2 } + {\dot z}^{2 })-mgz -\frac{1}{2 }k x^2 -\frac{1}{2 }k y^2-\frac{1}{ 2}k z^2$

luego sustuyo $x=R\cos \phi \Rightarrow x^2=R^2 \cos^2 \phi$ y $\dot x = -R \sin \phi \dot \phi \Rightarrow {\dot x}^{ 2} =R^2 \sin^2 \phi {\dot \phi }^{ 2}$ te recomiendo hacer algo similar con $y$

Saludos

[polonio]

Re: Partícula que se mueve sobre superfice interior de un cilindro

Eso que te dice Jose, aunque yo no sé por qué esa manía de pasar otra vez a cartesianas, de cartesianas a cíndricas de nuevo,... Usa cilíndricas todo el problema si las coordenadas generalizadas son las que hemos dicho. Un buen repaso de coordenadas curvilíneas te ayudará a resolver los problemas físicos con mucha más fecilidad

En cuanto al quinto apartado. Las ecuaciones de Lagrange (Euler-Lagrange) son algo más que derivar el lagrangiano... Mira en tu libro y trata de entender lo que significan las derivadas respecto a las coordenadas y velocidades generalizadas y respecto al tiempo. Si no lo entiendes, pregunta de nuevo y te ayudaré pero no intentes resolver un problema concreto sin saber qué haces, eso no te servirá de nada.

[BACANALATOR]

Re: Partícula que se mueve sobre superfice interior de un cilindro

Hola a todos,

He estado mirando problemas resueltos que he encontrado por internet pero ni aún así consigo asentar conceptos.
Teniendo como variables generalizadas z y \theta el lagrangiano
T = L - V -Vf = m/2 · (R^2 · senO^2· O'^2 + R^2·cosO^2· O'^2 + z^2) - mgz - 1/2·k·R^2·cosO^2 - 1/2·k·R^2·senO^2 - 1/2·k·z^2 . Es así correcto??

Bien apartado 3: conserv energia, momento lineal y angular: La energia se conserva porque no depende del tiempo. Esto es lo que no entiendo: el momento lineal y angular no se conserva porque va a depender de las coordenadas generalizadas O y z? Esto es así? no lo entiendo.

APARTADO 4: Resolver las ecuaciones de lagrange sabiendo que la altura incial es h, se encuentra en plano YZ y la velocidad inicial es nula.

Mirando el libro creo que esto se resuelve teniendo en cuenta las coordenadas generalizadas, asi:

d/dt (dL/dO') - dL/dO = 0 y d/dt (dL/dz') - dL/dz = 0 ;

La primera ec diferencial: dL/ dO' = 1/2·m· (2·R^2· senO^2 ·O' + 2·R^2· cosO^2·O') , todo esto inmerso en d/dt ( como sería esto??? no lo entiendo) y luego menos la derivada respecto a tecta . Lo estoy haciendo bien?

Apartado 5: Dar la expresion final del hamiltoniano.

No se si lo estoy haciendo bien, porque luego dL/dO parece que es una derivada ardúa complicada, me podéis echar una mano? Saludos y gracias.