2o ciclo Pendulo unido a un muelle

[BACANALATOR]

Hola a todos,

Escribo la resolución de otro problema de mecánica lagrangiana, no sé si lo tengo bien hecho, podéis echarle un vistazo?
El problema dice asi: En un sistema bidimensional un pendulo formado por una varilla l rigida (de masa despreciable) del que cuelga una masa puntual m, esta ademas esta unida al extremo de un muelle de costante k y longitud en reposo despreciable. El otro extremo del muelle esta sujeto a la pared. Bien para visualizarlo, la varilla y el muelle formarían un ángulo recto. Hay gravedad.

Resolucion: (origen tomamos donde empieza el muelle)
Bien suponiendo que esta en plano XY, la ligadura sería estar restringido al plano XY, es decir, z= 0, 2 gdl y 1 ligadura. Las 2 coordenadas generalizadas tomaría tecta O = angulo de la varilla con eje y y x: longitud del muelle;
teniendo en cuenta que senO = xm/l y cosO = ym / l;

xm = x + l·senO ; ym = l·cosO ; -> xm' = x' + l·cosO· O' ; ym' = -l·senO· O' ;

Asi la energia cinetica , potencial y elastica del muelle son:

T = m/2· (xm'^2 + ym'^2) = m/2 · (x'^2 + l^2· cosO^2· O'^2 + l^2·senO^2· O'^2) = m/2· (x'^2 + (l^2·O'2)

Vg = mg·ym = mg·l·cosO;
Ve = 1/2· k· x^2 ;
Asi el lagrangiano L = T- Vg - Ve = m/2· (x'^2 + (l^2·O'2) - mgl·cosO - k/2·x^2 ( Es esto así???);

ULTIMO APARTADO: Dar la expresion del hamiltoniano y las correspondientes ecuaciones. Esto como se haría, habría que encontrar las ecuaciones de lagrange y luego calcular los momentos ??

Saludos y muchas gracias

[lindtaylor]

Re: Pendulo unido a un muelle

Creo que debería ser $\displaystyle x_m=x+lsin\theta$ e $\displaystyle y_m=$$\displaystyle l-$$\displaystyle lcos\theta$,

$\displaystyle T=\frac {m(\dot x^2+l^2cos^2\theta \dot \theta+l^2sin^2\theta \dot \theta)}{2}$,

$\displaystyle V_p=mg(l-lcos\theta)$,

$\displaystyle V_r=\frac {k(x_m-x)^2}{2}$ (Acá has considerado que el péndulo oscila con pequeñas perturbaciones creo, ya que sino habría que incluir un alargamiento en $y$, el cual quedaria creo como $\displaystyle V_r=\frac {k(\sqrt{x_m^2+y_m^2}-x_m)}{2}$, aunque creo que al considerar la energia potencial del péndulo, esto implica que hay un alargamiento en el eje y del resorte, aunque puede ser mínimo y por tanto despreciable como caso particular, esperaré a que un experto me aclare mas )

La expresión del hamiltoniano es la que tienes,$L=T-V$, las ecuaciones creo que son las del movimiento, y las obtienes de $\displaystyle \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t }(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}) -\frac{\partial L }{\partial q_i}=0$

Pd: Creo que digo mucho creo :B.