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Hola a todos,
He realizado otro problema de mecánica analítica en el que tengo algunas dudas que me gustaría comentaros. Espero no ser pesado poniendo tantos posts seguidos, los escribo con la intención de si alguien le apetece poner en común su conocimiento conmigo y ayudarme a entender mejor estos conceptos.
Bien el problema dice así:
Se considera un muelle de costante elastica k y longitud en reposo lo con un extremo fijo en el origen del sistema de coordenadas (PLANO ZY, z ordenadas y x abscisas) y otro movil a lo largo de una barra vertical hacia abajo (que coincide con el eje negativo z). Se supone que el muelle tiene masa despreciable y sigue la ley Hooke. En el extremo inferior del mismo se fija un péndulo, cuya varilla tiene una longitud l1 y masa despreciable. En el extremo inferior del mismo (pendulo) hay masa puntual m. Se supone que no hay ningun rozamiento en el sistema:
1)Ec de la ligadura: Bien , hay a mi entender una restricción: y= 0 -> 2 grados de libertad y una ligadura. La ecuacion de la ligadura no se hallarla, como sería?
Necesitaremos 2 coordenadas generalizadas, \theta = angulo del pendulo con el eje z y z: longitud del muelle.
2)ENCONTRAR EL LAGRANGIANO: Bien, vamos hallar la energia cinetica T:
zm = z- lo + l1·cos O; xm = l1· senO ; ---> T = m/2 · (xm'^2 + zm'^2) = m/2· (l1^2·cosO^2·O'^2 + z'^2 + l1^2·senO^2·O'^2) = m/2· (l1^2·O'^2) ;
Velastico = k/2· z^2 ;
Vg = m·g·zm = mg· (z-lo + l1·cosO) ;
Asi el lagrangiano L = T-Ve-Vg = m/2·(l1^2·O'^2) - [k/2· z^2] - [mg· (z-lo + l1·cosO)] ;
3)COMENTAR CONSERV DE ENERGIA, MOMENTOS LINEALES Y ANGULARES:
Bien, como las 2 coordenadas generalizadas aparecen explicitamenet en L, ninguno de los momentos se conserva. El lagrangiano no depende explicitamente del tiempo, por lo que la energia se conserva;
4)ESTABLECER LA FORMA DE LAS ECUACIONES PARA EL CASO DE PEQUEÑAS OSCILACIONES. ENCONTRAR LAS FRECUENCIAS DE LAS PEQUEÑAS OSCILACIONES:
Esto no sé hacerlo, si alguien me puede decir como se hace , se lo agradecería mucho.
5)DAR LA EXPRESION FINAL DEL HAMILTONIANO:
pz = dL/ dz'^2 = m·z' ;; pO = dL/ dO'^2 = m·l1^2 · O' ,
Asi H seria: H = pz· z' + pO· l1^2·O' ???? Sería esto correcto, no estoy muy seguro.
Saludos y muchas gracias.
He realizado otro problema de mecánica analítica en el que tengo algunas dudas que me gustaría comentaros. Espero no ser pesado poniendo tantos posts seguidos, los escribo con la intención de si alguien le apetece poner en común su conocimiento conmigo y ayudarme a entender mejor estos conceptos.
Bien el problema dice así:
Se considera un muelle de costante elastica k y longitud en reposo lo con un extremo fijo en el origen del sistema de coordenadas (PLANO ZY, z ordenadas y x abscisas) y otro movil a lo largo de una barra vertical hacia abajo (que coincide con el eje negativo z). Se supone que el muelle tiene masa despreciable y sigue la ley Hooke. En el extremo inferior del mismo se fija un péndulo, cuya varilla tiene una longitud l1 y masa despreciable. En el extremo inferior del mismo (pendulo) hay masa puntual m. Se supone que no hay ningun rozamiento en el sistema:
1)Ec de la ligadura: Bien , hay a mi entender una restricción: y= 0 -> 2 grados de libertad y una ligadura. La ecuacion de la ligadura no se hallarla, como sería?
Necesitaremos 2 coordenadas generalizadas, \theta = angulo del pendulo con el eje z y z: longitud del muelle.
2)ENCONTRAR EL LAGRANGIANO: Bien, vamos hallar la energia cinetica T:
zm = z- lo + l1·cos O; xm = l1· senO ; ---> T = m/2 · (xm'^2 + zm'^2) = m/2· (l1^2·cosO^2·O'^2 + z'^2 + l1^2·senO^2·O'^2) = m/2· (l1^2·O'^2) ;
Velastico = k/2· z^2 ;
Vg = m·g·zm = mg· (z-lo + l1·cosO) ;
Asi el lagrangiano L = T-Ve-Vg = m/2·(l1^2·O'^2) - [k/2· z^2] - [mg· (z-lo + l1·cosO)] ;
3)COMENTAR CONSERV DE ENERGIA, MOMENTOS LINEALES Y ANGULARES:
Bien, como las 2 coordenadas generalizadas aparecen explicitamenet en L, ninguno de los momentos se conserva. El lagrangiano no depende explicitamente del tiempo, por lo que la energia se conserva;
4)ESTABLECER LA FORMA DE LAS ECUACIONES PARA EL CASO DE PEQUEÑAS OSCILACIONES. ENCONTRAR LAS FRECUENCIAS DE LAS PEQUEÑAS OSCILACIONES:
Esto no sé hacerlo, si alguien me puede decir como se hace , se lo agradecería mucho.
5)DAR LA EXPRESION FINAL DEL HAMILTONIANO:
pz = dL/ dz'^2 = m·z' ;; pO = dL/ dO'^2 = m·l1^2 · O' ,
Asi H seria: H = pz· z' + pO· l1^2·O' ???? Sería esto correcto, no estoy muy seguro.
Saludos y muchas gracias.