2o ciclo Billar con dos discos

[[Beto]]

Hola, estoy intentando resolver el siguiente ejercicio:

Para un billar que consiste de dos discos duros (radio $r$, la distancia $a$), sólo existe una única órbita aislada, periódica e inestable. Encontrar dicha órbita. Encontrar la matriz de estabilidad de esta órbita y comprobar que es simpléctica y que para de $r/a\to\infty$, se convierte en marginalmente estable (esto es una traducción del inglés, decía marginally stable).

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Lo que he pensado para resolver este ejercicio es lo siguiente:

Si calculo el Hamiltoniano para este sistema suponiendo que sus masas son $m_1=m_2=1$, tendría que viene dado por:

$$H(\phi,p_r,p_\phi)=p_r^2+\frac{p_\phi^2}{r^2}-\frac{k}{r}$$

Ahí se observa que $p_\phi$ es cíclica, por tanto es constante de movimiento, luego las ecuaciones de movimiento para el sistema serán:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \dot r&=2p_r&\dot p_r&=\frac{2p_\phi^2}{r^3}-\frac{k}{r^2}\\<br /> \dot\phi&=\frac{2p_\phi}{r^2}&\dot p_\phi&=0<br /> \end{aligned}<br />$$

donde como $L=p_\phi$ es constante, entonces se tiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales no lineales:

$$<br /> \left\{<br /> \begin{aligned}<br /> \dot r&=2p_r\\<br /> \dot p_r&=\frac{2L^2}{r^3}-\frac{k}{r^2}<br /> \end{aligned}\right.<br />$$

que tiene por punto crítico a [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Luego linealizando el sistema alrededor de ese punto crítico se obtiene:

$$<br /> \left\{<br /> \begin{aligned}<br /> \dot r&=2p_r\\<br /> \dot p_r&=-\frac{{k}^{4}}{8\,{L}^{6}}r<br /> \end{aligned}\right.<br />$$

por lo tanto para analizar la estabilidad de las trayectoria se deben de calcular los valores y vectores propios a la siguiente matriz:

$$<br /> M=\begin{pmatrix}<br /> 0&2\\<br /> -\dfrac{k^4}{8L^6}&0<br /> \end{pmatrix}<br />$$

para esta matriz se obtienen dos valores propios $\lambda_1=-\dfrac{ik^2}{2L^3}$ y $\lambda_2=\dfrac{ik^2}{2L^3}$, cuyos vectores propios son $\begin{pmatrix}1\\-\dfrac{ik^2}{2L^3}\end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix}1\\\dfrac{ik^2}{2L^3}\end{pmatrix}$ respectivamente.

Entonces como los valores propios tienen parte real nula el punto en cuestión es un centro estable, pero no asintóticamente estable.

El problema es que acá no se como incluir el tamaño de cada disco para encotrar que sucede cuando $r/a\to\infty$, según me parece estoy resolviendo el ejercicio para dos masas puntuales y no para dos discos ¿qué tengo que modificar o en donde me he equivocado?

[[Beto]]

Re: Billar con dos discos

Hola, he estado leyendo más sobre el tema y me parece que lo que he hecho no es correcto, copiare el enunciado del ejercicio en inglés (que el idioma original en el que me lo han planteado)

For a billard consisting of two hard circular disks (radius r, distance a), there exists only a single isolated unstable periodic orbit. Find the stability matrix for this orbit and check that it's symplectic and for $r/a\to \infty$, it becomes marginally stable.

... me parece que se refiere a una especie de sistema similar al billar de sinaí, pero de ser así no sé como plantear el ejercicio para empezar a resolverlo, debido a que no me dan la forma de la región que encierra a los dos discos.

¿Qué debería de tener en cuenta para empezar a resolverlo o como debería de plantear el hamiltoniano, para a partir de allí encontrar la matriz de estabilidad?

[[Beto]]

Re: Billar con dos discos

Hola, sobre este ejercicio, he avanzado lo siguiente, a partir del gráfico:

tomando en cuenta los ángulos encerrados en circunferencias sombreadas y de la geometría del rebote (rebotes de tipo especular) representado por la línea roja, obtengo las siguientes ecuaciones:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> y'-x'&=y+x'\\<br /> x'&=x+y\dfrac{b}{r}<br /> \end{aligned}<br />$$

la primera porque la línea marrón es bisectriz en el rebote y la segunda porque se considera rebotes pequeños, es decir el arco determinado por $x'-x$, es pequeño (por fines del dibujo lo dibuje exageradamente grande), entonces se hace una aproximación a primer orden para obtener el valor de $y\dfrac{b}{r}$. Obteniéndose así de esas dos ecuaciones:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
O en forma matricial:

$$<br /> \begin{pmatrix}<br /> \delta x'\\\delta y'<br /> \end{pmatrix}=<br /> \underbrace{\begin{pmatrix}<br /> 1&\dfrac{b}{r}\\2&1+\dfrac{2b}{r}<br /> \end{pmatrix}}_{M}<br /> \begin{pmatrix}<br /> \delta x\\\delta y<br /> \end{pmatrix}<br />$$

entonces acá obtengo los siguientes autovalores

$$\left\{-\frac{\sqrt{2\,b\,r+{b}^{2}}-r-b}{r},\frac{\sqrt{2\,b\,r+{b}^{2}}+r+b}{r}\right\}$$

y al realizar el producto $M^tJM$ se obtiene $M^tJM=\dfrac{2b}{r}J$, aunque según esto http://en.wikipedia.org/wiki/Symplectic_matrix, en matrices de 2x2 basta que $\text{det}(M)=1$ para que sea simpléctica y efectivamente sucede eso ... ¿entonces no hay una especie de contradicción?

Por otro lado, ¿qué quiere decir marginalmente estable?, se aprecia que si ese cociente del enunciado tiende a infinito, entonces habría un único autovalor que sería 1 ¿tiene que ver con esto?

Espero y me puedan aclarar esas dudas.