1r ciclo Lagrangiana de un péndulo cuyo punto de suspención gira

[Quesiendomosca]

Buenas gente. Estoy resolviendo unos problemas del Landau y resulta que me trabé con este:
Muchísimas gracias desde ya!

[horxata]

Re: Lagrangiana de un péndulo cuyo punto de suspención gira

Es el ejemplo clásico de un sistema reónomo (dependiente del tiempo), es un aro circular de radio a con una masa ensartada, y dicho aro esta unido a una hilo de longitud L. Imaginate que -aguantando la hilo- la haces rotar y describir un círculo perpendicular al suelo, a una frecuencia constante.

Entonces la posición de la masa viene dado por su distancia al centro del aro (acos(gamma*t), -asen(gamma*t), mas la distancia del aro a tu mano (lsenphi, lcosphi). Tu mano seria el origen de coordenadas, y phi el ángulo que forma el hilo con él.

Edit: Perdon, no me hagas ni caso, la masa esta al final de la varilla de longutid l y no ensartada en el aro jaja.

[Quesiendomosca]

Re: Lagrangiana de un péndulo cuyo punto de suspención gira

Es un péndulo el cuál su punto de aplicación va girando. Se muestra la respuesta pero no se muy bien que hace para llegar a ella. Muchas gracias de todas formas.

[lindtaylor]

Re: Lagrangiana de un péndulo cuyo punto de suspención gira

Tengo una duda con el potencial $V$. $V=mgy$?, que en el resultado final veo que solo hay un termino con $g$, el $mglcos\phi$ pero $V=mg(-asin\gamma t+lcos\phi)$ o no?

[GNzcuber]

Re: Lagrangiana de un péndulo cuyo punto de suspención gira

Hola,

Tomando como el punto $O(0,0)$ el centro de la circunferencia, donde consideramos un sistema cartesiano con el eje de las $y$ en vertical y su sentido positivo hacia arriba, y el eje de las $x$ con sentido positivo hacia la derecha.

La posición de la masa será en el eje de las abscisas, la proyección del punto de suspensión del péndulo sobre el eje $Ox$, tomando $\phi$ como el ángulo que es cero cuando el punto de suspensión se encuentra en el punto más bajo y es creciente en el sentido contrario a las agujas del reloj, la distancia de éste es $\displaystyle a\cos(\gamma t)$, donde $x = 0$ cuando $t=0$. A ésta distancia se le suma la posición de la masa en un sistema móvil que coincide con el punto de suspensión del péndulo, siendo cero en éste y positivo hacia arriba, un ángulo análogo se define en este sistema, $\phi$, y la distancia de la masa respecto al eje vertical del sistema móvil es $\displaystyle L\sin(\phi)$.

Sin entrar en más detalles, nos podemos imaginar como será coordenada $y$, como para el sistema móvil el péndulo siempre está hacia abajo ($y$'s negativas), agregaremos un signo menos "$-$".

$$\displaystyle \begin{aligned} <br /> x = a\sin(\gamma t) + L\sin(\phi) \\<br /> y = -a\cos(\gamma t) -L\cos(\phi) <br /> \end{aligned}$$

Las velocidades serán

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> \dot{x} = \gamma a\cos(\gamma t) + \dot{\phi}L\cos(\phi) \\<br /> \dot{y} = \gamma a\sin(\gamma t) + \dot{\phi}L\sin(\phi)<br /> \end{aligned}$$

Su energía cinética y potencial será

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> T = \frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2) &= \frac{m}{2}\left[(\gamma a\cos(\gamma t)+\dot{\phi}L\cos(\phi))^2 + (\gamma a\sin(\gamma t) + \dot{\phi}L\sin(\phi))^2\right] = \\ <br /> &= \frac{m}{2}\left[\gamma^2 a^2 + L^2\dot{\phi}^2 + 2a\gamma L\dot{\phi} [\cos(\gamma t)\cos(\phi) + \sin(\gamma t)\sin(\phi)]\right] = \\<br /> &= \frac{m}{2}\left[a^2\gamma^2 + L^2\dot{\phi}^2 + 2a\gamma L\dot{\phi}\cos(\gamma t - \phi)\right] \\<br /> V = mgy &= -mg[a\cos(\gamma t) + L\cos(\phi)]<br /> \end{aligned}$$

Y el lagrangiano será entonces

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
El lagrangiano (hay fuerzas conservativas) se calcula de esta manera según me enseñaron. Para eliminar lo que se ha eliminado del enunciado supongo que es para calcular las ecuaciones del movimiento.

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} &= ma\gamma \dot{\phi}L\sin(\gamma t-\phi) - mgL\sin(\phi) \\<br /> \frac{\dd}{\dd t}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}} &= m[L + 2a\gamma \cos(\gamma t-\phi)]L\ddot{\phi}<br /> \end{aligned}$$

No veo que hayan términos que se puedan anular. No entiendo por qué los descarta de la solución el enunicado.

¡Saludos!