2o ciclo Invariant density

[[Beto]]

Hola, quisiera saber como es que se llega a probar que para el mapa logístico $x'=4x(1-x)$ su densidad es $\dst\rho(x)=\frac{1}{\pi\sqrt{x(1-x)}}$ he estado pensando pero no se me ocurre nada ... agradezco cualquier ayuda que me puedan dar.

[aperea]

Re: Invariant density

Por lo que he visto buceando en la red, no es un problema nada sencillo encontrar la densidad invariante de una aplicación afín. Al menos, te puedes contentar con la siguiente comprobación. Si $\rho(x)$ es la densidad de probabilidad del valor x, $\rho(x)=\int\delta(y-f(x))\rho(y) dy$. Esto es, el valor x siempre viene dado por cada valor de y previo a la aplicación de la función f. Puedes comprobar que la densidad invariante satisface esta exigencia.
La determinación analítica de la densidad no parte de la función f, si no de un operador L asociado (de Frobenius-Perron), para el cual, la densidad $\rho(x)$ es un punto fijo, y por tanto, es densidad invariante.
Por lo que he visto, resulta más interesante construir aplicaciones para densidades dadas, que deducir analiticamente en casos muy concretos el valor de $\rho(x)$.

La formula correcta es $\rho(x)=\int\delta(x-f(y))\rho(y) dy$