2o ciclo Prinicipio de Minima Acción y Hamiltoniano

[Brunow]

¿Como les va? aca estoy molestando de nuevo.
Mi consulta es sobre la siguiente deduccion:

llego a $\delta S= -H\delta t$ pero no se como seguir. lo primero que se me ocurrio es pasar el $\delta t$ dividiendo jeje pero hasta donde tengo entedido la variacion $\delta t$ NO es lo mismo que la expresion diferencial $\partial t$. lo mismo para la accion $S$. no se. hay una deduccion parecida en el Landau pero usa variacion en el las coordenadas generalizadas y sigue otro camino para llegar al resultado. espero me puedan ayudar. un abrazote!

[alejandrito29]

Re: Prinicipio de Minima Acción y Hamiltoniano

Varías la acción y llegas a
$\delta S = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q + \int ( \frac{\partial L}{\partial q} -\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt} } \frac{\partial L}{\partial \dot{q} }) dt \delta q$

Es facil observar que lo interior del paréntesis de la integral es 0, por las condiciones de euler lagrange.

Mientras que de la definicion de momento canonico $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = p$
de lo que obtienes $\delta S = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q = p \delta q \to \frac{\partial S}{\partial q} =p$

Evaluas el corchete de Poisson y te da $[H,S] = \frac{\partial S}{\partial q} \frac{\partial H}{\partial p} = p \dot{q}$

Finalmente usas $\frac{\mathrm{d}S }{\mathrm{d}t } = \frac{\partial S}{\partial t } + [H,S] \to L = \frac{\partial S}{\partial t } + p \dot{q}$

entonces $L- p \dot{q} = -H = \frac{\partial S}{\partial t }$

puedes tu agregar los signos de sumatorias

[Brunow]

Re: Prinicipio de Minima Acción y Hamiltoniano

pero no usaste las hipotesis. esa es la demostracion de landau que parte de una variacion en las posiciones pero la variacion en este caso es en el tiempo.
de todas formas la deduccion me sirve pero quisiera saber como pasas de $\delta S = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q = p \delta q$ a $\frac{\partial S}{\partial q} =p$

[alejandrito29]

Re: Prinicipio de Minima Acción y Hamiltoniano

pero no usaste las hipotesis. esa es la demostracion de landau que parte de una variacion en las posiciones pero la variacion en este caso es en el tiempo.
de todas formas la deduccion me sirve pero quisiera saber como pasas de $\delta S = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q = p \delta q$ a $\frac{\partial S}{\partial q} =p$

pero

$\frac{\partial L}{\partial t} \delta t = \frac{\partial L}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial t} \delta t +\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \frac{\partial \dot{q}}{\partial t} \delta t$

si $q=q(t) \to \delta q = \frac{\partial q}{\partial t } \delta t \to \delta \dot{q} = \frac{\partial \dot{q}}{\partial t } \delta t$

y asi llegas a lo mismo que en el landau y en todos los libros

$\delta L = \frac{\partial L}{\partial q} \delta q +\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q}$

Ademas $\delta S = \frac{\partial S}{\partial q } \delta q \to \frac{\delta S}{\delta q} = \frac{\partial S}{\partial q }$