Otras carreras Problema de un muelle

[PedroS]

Un resorte cuya masa vamos a considerar despreciable pende del techo sin ninguna masa sujeta
en su extremo libre. Su longitud en esa situación es 20 cm. Suspendemos una masa M de su
extremo inferior pero la sujetamos de modo que el resorte aún sigue teniendo 20 cm de longitud.
Apartamos súbitamente la mano y masa y resorte comienzan a oscilar. La posición más baja que
alcanza la masa en su oscilación está 10 cm por debajo de la que tenía antes de retirar la mano.
A) ¿Cuál es la frecuencia de la oscilación?
B) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando pasa a 5 cm por debajo de su posición inicial?
C) Se agrega una segunda masa de 300 gr a la primera y se observa que el conjunto oscila
con la mitad de frecuencia que antes. ¿Cuál es el valor de M?
D) ¿Cuál es la nueva posición de equilibrio?

Por favor que alguien me de alguna pistilla o algo para poder resolverlo, gracias

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Re: Problema de un muelle

Hola PedroS,

Este problema no es más que una aplicación del movimiento armónico simple, en este caso, vertical. Te cuento así, grosso modo, la mecánica de este tipo de problemas y verás lo fácil que resulta resolverlo.

Bueno, tienes un resorte con una constante de fuerza $k$ del que suspendes la masa $M$. Lógicamente, las oscilaciones que se producirán serán verticales, y lo que debes preguntarte en primer lugar, es si se tratará también de un movimiento vibratorio armónico simple.

Fíjate que al colgar la masa, el resorte se estirará una distancia $\Delta l$ apenas suficiente para que la fuerza vertical, $k\Delta l$ del resorte sobre el cuerpo equilibre su peso, es decir:

$$k\Delta l=Mg$$

La posición de equilibrio será: $x=0$, y tomaré como positivo hacia arriba, esto es, con la dirección $+x$ hacia arriba. Ahora, fíjate que cuando el cuerpo se halle a una distancia por encima de su posición de equilibrio, la tensión del resorte será:

$$\Delta l - x$$

Por tanto, la fuerza hacia arriba que ejerce el cuerpo, no es más que:

$$k(\Delta l -x )$$

De modo que la componente x total de la fuerza sobre el cuerpo es:

$$F_{t}=k(\Delta l -x)+(-Mg)=\underbrace{k\Delta l}_{Mg}-kx+(-Mg)=-kx$$

Lo mismo ocurriría si el cuerpo está por debajo de la posición de equilibrio, habría una fuerza neta hacia arriba de magnitud $kx$. Lo que quiero decir con estos dos casos, es que existe una fuerza de restitución, o restauradora, con la magnitud indicada, lo cual implica, que si el cuerpo se pone en movimiento vertical, oscilará en MAS con la misma frecuencia angular que si fuera horizontal (si haces el mismo procedimiento suponiendo que se mueve horizontalmente, llegarás a la misma conclusión). Dicha frecuencia angular es:

$$\omega=\sqrt{\dst\frac{k}{M}}$$

Como ves, el único cambio que hay, entre el MAS horizontal y el vertical, es que la posición de equilibrio, $x=0$, ya no corresponde al punto donde el resorte no está estirado.

La pistilla, es que podrías hacer el problema pensando que el MAS es horizontal, eso sí, acuérdate de lo de la posición de equilibrio que te he dicho antes.

Saludos,