Avanzado trayectoria mas corta onda sismica

[dany_nash]

Hola amigos, tengo dudas con el siguiente problema, y espero me puedan ayudar a resolverlo, por favor.

Supongamos que una onda sismica viaja traves de la Tierra (supuesta plana) con una velocidad
que es directamente proporcional a la profundidad. Calcule la trayectoria que seguira la perturbacion
para ir desde un punto A a otro B, ambos arbitrarios y en el interior de la Tierra, con la exigencia de
que el tiempo de propagacion sea minimo.

Lo que hize fue esto: Sabemos que el tiempo es el que se debe minimizar por lo tanto :

$\int_{a}^{b}dt = \int_{a}^{b} \frac{ds}{v}$

Luego cmo dicen que la velocidad es proporcional a la altura, se tendra que $v=\alpha \cdot h(z)$, con$\alpha$ es una cte (está correcta esta relacion???) donde z es la componente que nos determina la pro,fundidad, ahora aca viene mi duda el "ds" de la onda es $\sqrt{dx^2+dy^2}$ o el diferencial de camino de una onda es distinto ??..Tambien tengo dudas con la funcion que describe la densidad de la tierra, ya que si me dieron aquello, podria encontrar la funcion $h(z)$.


Bueno, espero me puedan ayudar con el problema, muchas gracias.

Adios.

[arivasm]

Re: trayectoria mas corta onda sismica

En primer lugar, puedes tratar tu problema como si fuese bidimensional, usando el plano perpendicular a la superficie y que contiene los dos puntos, A y B. Por tanto, sólo necesitas dos coordenadas. Por ejemplo, podemos tomar x paralelo a la superficie e y correspondiéndose con la profundidad, con lo que la expresión para la velocidad será $v(x,y) = \alpha y$.

Tu objetivo es hallar la ecuación de una curva, $y(x)$ que debe satisfacer las coordenadas de los puntos A y B, así como ser extremal para el tiempo, que es la que tu indicas:

$\int_A^B \dd t = \int_A^B \frac{\dd s}{v} = \int_A^B \frac{\sqrt{\dd x^2 + \dd y^2}}{\alpha y} = \frac{1}{\alpha} \int_A^B \frac{\sqrt{1+{y'}^2}}{y} \dd x$

Como seguramente sabes, se trata de un problema de tipo variacional, que se resuelve empleando la ecuación de Euler

$\frac{\dd}{\dd x}\frac{\partial f}{\partial y'}-\frac{\partial f}{\partial y}=0$

donde, en nuestro caso, $f(x,y,y')=\frac{\sqrt{1+{y'}^2}}{y}$. De este modo, tenemos que llegar a una ecuación diferencial que, al ser resuelta, nos proporciona la función buscada.

Como en nuestro caso f no depende de x, la ecuación de Euler admite ser integrada de manera que se corresponde con

$\frac{\partial f}{\partial y' }y'-f=c$

donde c es una constante de integración.

Como te decía, obtendrás una ecuación diferencial con y e y' que, al ser resuelta te proporcionará una segunda constante de integración. Por supuesto, los valores de las dos constantes los determinas al aplicar que la función final $y(x)$ debe satisfacer las coordenadas de A y B.

Espero que estas indicaciones te sirvan de ayuda.

[dany_nash]

Re: trayectoria mas corta onda sismica

Muchas gracias, al final lo resolvi de esa forma, aunque la solucion no fue nada agradable de resolver, tuve que ingresarla a un programa computacional para determinar la solucion, tu tienes la solucion analitica del problema? porq por mi parte no fue posible.

Saludos

[arivasm]

Re: trayectoria mas corta onda sismica

Como $\frac{\partial f}{\partial y'}=\frac{y'}{y\sqrt{1+y'^2}}$, entonces la ecuación a resolver es

$c=\frac{y'^2}{y\sqrt{1+y'^2}}-\frac{\sqrt{1+y'^2}}{y}$

que se reduce a $y\sqrt{1+y'^2}=\alpha$, donde $\alpha$ es una constante $\alpha=-1/c$. Despejando y' e integrando (lo que hago es despejar dx) yo encuentro que $\beta\pm x=\sqrt{\alpha^2-y^2}$, donde $\beta$ es la nueva constante de integración. En definitiva, mi solución es $y = \sqrt{\alpha^2-\left( \beta\pm x \right)^2}$. Como ya comenté más arriba, las constantes $\alpha$ y $\beta$ se determinan al imponer que la ecuación debe satisfacer las coordenadas de los dos puntos, A y B, por los que pasa la función.

Debo decir que he editado lo que he escrito originalmente en este post, puesto que habrá dos soluciones. Lo que no he hecho todavía es analizar el significado físico, o si sólo una de ellas lo tiene.

[arivasm]

Re: trayectoria mas corta onda sismica

Ya encontré la respuesta a mi duda. Si hacemos un cambio de coordenadas de manera que A sea el origen y variamos la escala de modo que B sea el punto (1,1), las dos soluciones se reducen a $y^2=\pm 2x-x^2$, siendo entonces evidente que sólo tiene sentido la que corresponde al signo +. Por tanto, la única válida es $y=\sqrt{\alpha^2-(\beta-x)^2}$

[arivasm]

Re: trayectoria mas corta onda sismica

Creo que mi conclusión era correcta, pero me temo que no lo era el razonamiento:

Si hacemos un cambio de coordenadas de manera que A sea el origen y variamos la escala de modo que B sea el punto (1,1), las dos soluciones se reducen a $y^2=\pm 2x-x^2$

Sí puedo trasladar el punto A de manera que tenga $x=0$. También puedo cambiar la escala de manera que el punto B tenga $x=1$. Incluso puedo cambiar la escala en las Y. Lo que no puedo hacer es trasladar el origen a A y dejar que la solución mantenga la misma forma, pues entonces estoy saltándome el hecho de que la velocidad debe ser proporcional a y (con lo que si y es cero ni siquiera habría propagación de la onda!), que es el error que cometí.

Espero que ahora no me equivoque: imponiendo a la solución que satisfaga las coordenadas de A, para las que tomaré $(0,y_A)$, y las de B, para las que tomaré $(1,y_B)$, encontramos que $\alpha^2 = y_A^2+\beta^2$ y que $\beta=\mp \frac{1}{2}\left(y_B^2-y_A^2+1\right)$. Al llevarlo a la solución tenemos que

$y^2 = \alpha^2-\left[\mp \frac{1}{2}\left(y_B^2-y_A^2+1\right)\pm x\right]^2= \alpha^2-\left[\frac{1}{2}\left(y_B^2-y_A^2+1\right)-x\right]^2$

Como vemos, la forma sí era la que señalé en mi post anterior, pero el argumento es otro.

De todos modos, no os extrañe si vuelvo a la carga con este tema. Tengo una neurona que no quedó tranquila y, o la calmo o le hago caso.

Saludos.

[dany_nash]

Re: trayectoria mas corta onda sismica

Como $\frac{\partial f}{\partial y'}=\frac{y'}{y\sqrt{1+y'^2}}$, entonces la ecuación a resolver es

$c=\frac{y'^2}{y\sqrt{1+y'^2}}-\frac{\sqrt{1+y'^2}}{y}$

que se reduce a $y\sqrt{1+y'^2}=\alpha$, donde $\alpha$ es una constante $\alpha=-1/c$. Despejando y' e integrando (lo que hago es despejar dx) yo encuentro que $\beta\pm x=\sqrt{\alpha^2-y^2}$, donde $\beta$ es la nueva constante de integración. En definitiva, mi solución es $y = \sqrt{\alpha^2-\left( \beta\pm x \right)^2}$. Como ya comenté más arriba, las constantes $\alpha$ y $\beta$ se determinan al imponer que la ecuación debe satisfacer las coordenadas de los dos puntos, A y B, por los que pasa la función.

Debo decir que he editado lo que he escrito originalmente en este post, puesto que habrá dos soluciones. Lo que no he hecho todavía es analizar el significado físico, o si sólo una de ellas lo tiene.

Hola, primero que todo gracias por la atencion , y segundo siento no responder de manera expedita, pero con el ingreso de clases no he tenido muhco tiempo. ahora bien, respecto a lo plateado, podrias explicarme mejor ese paso que realizaste ?? (lo marque en negrita, porq si lo veo bien, lo que hiciste fue mas o menos esto esto):

$y\sqrt{1+y'^2}=\alpha \Rightarrow y'=\sqrt{\alpha^2-y^2} \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\sqrt{\alpha^2-y^2}$

Lo cual es de variables separables, quedando :

$\displaystyle \int \frac{dy}{\sqrt{\alpha^2-y^2}}=\beta+x$, Luego, la solucion es :

$\displaystyle \arctan\left(\frac{y}{\sqrt{\alpha^2-y^2}}\right)=\beta+x$.

Y de ahi encontrar $y(x)$, ya se pone mas complicadillo xD, aunqe basicamente es despeajar y.

Espero se pueda solucionar la duda, para llegar a un consenso .

Saludos desde Chile

[arivasm]

Re: trayectoria mas corta onda sismica

Detallaré los pasos que me indicas, partiendo de $\alpha = y \sqrt{1+y'^2}$. Elevando al cuadrado y pasando $y^2$ al otro miembro, $\frac{\alpha^2}{y^2}=1+y'^2$, luego $y'^2 = \frac{\alpha^2}{y^2}-1=\frac{\alpha^2-y^2}{y^2}$. En consecuencia, $\pm y' = \pm\frac{\dd y}{\dd x}=\frac{\sqrt{\alpha^2-y^2}}{y}$. Separando variables, $\pm{\dd x}=\frac{y \dd y}{\sqrt{\alpha^2-y^2}}$ y entonces $\beta\pm x=\sqrt{\alpha^2-y^2}$, siendo $\beta$ una nueva constante de integración. El resto, si no me he equivocado, es lo que ya escribí antes.

Aprovecho este post para contarte qué me decía la neurona que no me dejaba descansar con este problema que, por cierto, me ha gustado muchísimo (es uno de mis favoritos de los que he abordado de este foro). La clave está en que lo he ampliado preguntándome cuánto tiempo tarda la onda en ir de A a B. Pero me pareció que el caso más interesante se refería a aquél en el que B está en la superficie.

Al resolverlo me encontraba con dos "soluciones", una de ellas aparentemente bonita tenía el problema de que se anulaba si el punto de llegada estaba justo encima de A. La otra simplemente me decía que la onda jamás llegaba a la superficie.

Finalmente tengo claro que la respuesta correcta es precisamente esa última: puesto que la velocidad de propagación es proporcional a la profundidad irá disminuyendo a medida que se acerca a la superficie. El resultado es que nunca llega a ella, como se puede ver integrando el caso más simple: B está en la superficie justamente encima de A.

En definitiva, es un problema matemáticamente muy bonito, pero físicamente un tanto limitado. Un pasatiempo entretenido!.

Saludos desde España!

[dany_nash]

Re: trayectoria mas corta onda sismica

Detallaré los pasos que me indicas, partiendo de $\alpha = y \sqrt{1+y'^2}$. Elevando al cuadrado y pasando $y^2$ al otro miembro, $\frac{\alpha^2}{y^2}=1+y'^2$, luego $y'^2 = \frac{\alpha^2}{y^2}-1=\frac{\alpha^2-y^2}{y^2}$. En consecuencia, $\pm y' = \pm\frac{\dd y}{\dd x}=\frac{\sqrt{\alpha^2-y^2}}{y}$. Separando variables, $\pm{\dd x}=\frac{y \dd y}{\sqrt{\alpha^2-y^2}}$ y entonces $\beta\pm x=\sqrt{\alpha^2-y^2}$, siendo $\beta$ una nueva constante de integración. El resto, si no me he equivocado, es lo que ya escribí antes.

Aprovecho este post para contarte qué me decía la neurona que no me dejaba descansar con este problema que, por cierto, me ha gustado muchísimo (es uno de mis favoritos de los que he abordado de este foro). La clave está en que lo he ampliado preguntándome cuánto tiempo tarda la onda en ir de A a B. Pero me pareció que el caso más interesante se refería a aquél en el que B está en la superficie.

Al resolverlo me encontraba con dos "soluciones", una de ellas aparentemente bonita tenía el problema de que se anulaba si el punto de llegada estaba justo encima de A. La otra simplemente me decía que la onda jamás llegaba a la superficie.

Finalmente tengo claro que la respuesta correcta es precisamente esa última: puesto que la velocidad de propagación es proporcional a la profundidad irá disminuyendo a medida que se acerca a la superficie. El resultado es que nunca llega a ella, como se puede ver integrando el caso más simple: B está en la superficie justamente encima de A.

En definitiva, es un problema matemáticamente muy bonito, pero físicamente un tanto limitado. Un pasatiempo entretenido!.

Saludos desde España!

jajajaja pues que va, deberia entrar a la primaria o secundaria otra vez para saber como despejar una incognita xD. Lo siento, cometi un error en despejarla. Y bueno, con respecto a tu sentido fisico, bien atinado y cuerdo me parece, quizas siga preguntando problemas, que a mi parecer no son para nada triviales para mi, ademas sumado que con todo los paros sufridos en mi pais, debo aprender todo en algo mas de dos meses xD.

Bueno, un saludo, y gracias por tu atencion.

SAludos