Avanzado Lagrangiano Puerta de un carro

[dany_nash]

Hola amigos, pues vengo aca con otro problema que es está complicado a mi parecer,por favor pueden ayudarme un poco con el problema?, mas que nada como plantear el lagrangiano ya que lo demas. Lo comento a continuacion:

Un auto en movimiento sobre un camino horizontal, con una puerta
accidentalmente abierta con un angulo inicial $\phi_0$ (donde $\phi_0=0$
indica que la puerta está completamente cerrada. El movimiento
del carro está descrito la función $X(t)$. La puerta tiene masa M , un
ancho $W$ y altura $H$, con espesor insignificante. La bisagra de la
puerta permite una rotacion completa de ésta.

Encontrar el lagrangiano , considerando que es un cuerpo rigido que rota.


De ante mano muchas gracias.

Saludos

[Javi_VM]

Re: Lagrangiano Puerta de un carro

Ya no me acuerdo muy bien de estas cosas, pero intentaré ayudarte:

$L=T-V$
La energía potencial gravitatoria podemos tomarla cero. Entonces
$L=T=T_{tras}+T_{rot}$
la T de traslación será tomando la velocidad del carro. La de rotación si te digo la verdad no me acuerdo bien de como iba pero si tengo tiempo más tarde sigo. La idea es buscarla en coordenadas cartesianas (toma cilíndricas y luego las pasas a cartesianas) y luego ya es cuestión de sumar.

Espero que te sirva de ayuda.

[arivasm]

Re: Lagrangiano Puerta de un carro

Expondré una idea (pero poco madurada): como ha dicho Javi_VM la lagrangiana será la suma de los dos términos de la energía cinética. En mi opinión, el de traslación será $1/2 m {\dot X}^2$ y el de rotación será $1/2 I {\dot \phi}^2$, siendo I el momento de inercia respecto del eje de rotación. Claro que me entran dudas acerca de si no habrá que tener en cuenta que el eje de rotación se está desplazando solidariamente con el auto.

Edito: como comento en otro post, claro que hay que tener en cuenta el desplazamiento del eje de rotación!

Lo que no veo es qué sentido puede tener el problema si no hay un término de energía potencial, pues a primera vista, si lo que dije antes es cierto (y quizá no lo sea), la ecuación de movimiento para la puerta será $\dot \phi=cte$. Claro que al pensar en X también queda claro que debe haber un término de potencial, pues de lo contrario necesariamente debería ser de la forma $X(t)=a+b t$.

[arivasm]

Re: Lagrangiano Puerta de un carro

He estado pensando algo más lo que dije antes y lo que veo por ahora con claridad es que sí hay que tener en cuenta que el eje se desplaza con el automóvil. Para verlo consideraré un ejemplo más simple, como el que recojo en este dibujo

donde la masa m está unida a un punto que se desplaza según x(t). Como las coordenadas de la masa son $x(t)-r \cos\varphi$ y $r \sin\varphi$, su velocidad tendrá por componentes $\dot x + r \dot \varphi \sin \varphi$ y $r \dot \varphi \cos\varphi$, con lo que el término correspondiente en la energía cinética será $\frac{1}{2}m\left( {\dot x}^2+ 2 \dot x \dot \varphi r \sin\varphi + r^2 {\dot \varphi}^2\right)$.

En nuestro caso no tenemos una única masa, sino un conjunto de ellas, cada una de las cuales contribuirá con un sumando semejante, donde para cada una sólo cambiará la r. Por tanto, supongo que integrando se encuentra la respuesta que buscas. De todos modos, aún le daré alguna vuelta más.

[arivasm]

Re: Lagrangiano Puerta de un carro

Por completar algo más lo que escribí antes. He seguido el camino de integrar, que comentaba al final, y el resultado que obtengo para la lagrangiana de la puerta sería éste: $\frac{1}{2}M{\dot X}^2+\frac{1}{2}M W \dot X \dot \varphi \sin \varphi+ \frac{1}{6}MW^2{\dot \varphi}^2$.

Por último, con respecto a lo que dije del potencial, veo con claridad que era una verdadera tontería, por lo que procedo a editar ese mensaje.

De todos modos, me gustaría conocer cuál es vuestra opinión.

[Javi_VM]

Re: Lagrangiano Puerta de un carro

Si Arivasm, tienes toda la razón. Al no ser el movimiento del coche uniforme, van a aparecer aceleraciones y tal y no puede separarse, tiene uno que echarse las cuentas a ver como sale. Como has dicho con el del péndulo hay que tomar las ecuaciones y hacer las derivadas.

Tenemos dos coordenadas, la X y la phi:
$X=x(t)-cos(\phi) W$
$\phi=\phi (t)$
y a partir de ahi ya es cuestión de tomar la definición de energía cinética y tener en cuenta que tenemos un solido rigido etc.

[dany_nash]

Re: Lagrangiano Puerta de un carro

con lo que el término correspondiente en la energía cinética será $\frac{1}{2}m\left( {\dot x}^2+ 2 \dot x \dot \varphi r \sin\varphi + r^2 {\dot \varphi}^2\right)$.

En nuestro caso no tenemos una única masa, sino un conjunto de ellas, cada una de las cuales contribuirá con un sumando semejante, donde para cada una sólo cambiará la r. Por tanto, supongo que integrando se encuentra la respuesta que buscas. De todos modos, aún le daré alguna vuelta más.

Por completar algo más lo que escribí antes. He seguido el camino de integrar, que comentaba al final, y el resultado que obtengo para la lagrangiana de la puerta sería éste: $\frac{1}{2}M{\dot X}^2+\frac{1}{2}M W \dot X \dot \varphi + \frac{1}{6}MW^2{\dot \varphi}^2$.

Hola, gracias por responder, pero tengo un par de dudas con lo que expuso en los post anteriores, la primera es, por que el lagrangiano no depende de H en ningun caso?? es irrelevante aquello, osea , el movimiento es seria el mismo para una puerta con demasiada altura en comparacion con otra con una altua pequña (o es que en aquel caso la energia potencial deja de ser una cte?)?, y la segunda, es que integrando, no logro llegar al lagrangiano , llego , integrando lo que puso a :

$\frac{1}{2}M{\dot X}^2+\frac{1}{2}M W \dot X \dot \varphi \cdot sen(\phi) + \frac{1}{6}MW^2{\dot \varphi}^2$,

quizás esté integrando mal. Podria explicar un poco mas como llego a ese paso, si no es molestia .

Y con respecto a la respuesta de javi_VM, entonces el lagrangiano seria equivalente a lo siguiente (aunque no estoy muy seguro lo verdad) :

$L= \frac{1}{2}M\dot X(t)^2 + \frac{1}{2}I \dot \phi^2$
$L= \frac{1}{2}M (\dot x(t)+Wsen(\phi)\dot \phi )^2 + \frac{1}{2}I \dot \phi^2$


donde en el momento de inercia ahi si quedaria en funcion de W y H, Espero pudan orientarme un poco mas!!

Saludos

[arivasm]

Re: Lagrangiano Puerta de un carro

por que el lagrangiano no depende de H en ningun caso??

Porque la altura de la puerta entra, de algún modo, en su masa. Así, por ejemplo, el momento de inercia de un rectángulo de dimensiones W y H y densidad superficial $\sigma$, calculado con respecto del lado que mide H, sería $I=\frac{1}{3}\sigma H W^3=\frac{1}{3}M W^2$. Por cierto, aprovecho este cálculo para señalar que, por supuesto siempre si es que es correcto lo que yo he dicho al respecto de este ejercicio, el último sumando del lagrangiano sería $\frac{1}{2}I{\dot \varphi}^2$.

integrando, no logro llegar al lagrangiano , llego , integrando lo que puso a :

$\frac{1}{2}M{\dot X}^2+\frac{1}{2}M W \dot X \dot \varphi \cdot sen(\phi) + \frac{1}{6}MW^2{\dot \varphi}^2$,

Tienes razón, al transcribir mi resultado omití el seno. De hecho, voy a editar mi post anterior para corregir mi error.