Avanzado Lagrangiano masas sobre un cono

[dany_nash]

Hola amigos, creo que estare constantemente posteando problemas en este sector estos meses jajja.
Bueno tengo un nuevo problema, que es mas que nada para saber si he planteado de manera correcta el lagrangiano, y en caso contrario,ojala me puedan correjir los errores . Lo presento a continuacion :


Considere dos masas,$m_1$ y $m_2$ , unidas por una cuerda de largo$L$,
que se disponen de la manera mostrada en la figura . La masa $m_2$
esta restringida a moverse sobre la superficie interior del cono, que
tiene angulo caracteristico $\alpha$. Si se dejara el sistema solo, sin darle
velocidad inicial a las masas,$m_1$ caer ́ debido a la accion de la
gravedad, arrastrando a $m_2$ con ella.



Lo que hize, basandome en el dibujo (donde mi eje de referencia esta en la parte final del cono, e $y_2$ es lo que recorre la masa $m_2$ y $L-y_2$ lo que recorre la masa $m_1$,con $y_2$ funcion del tiempo)

Luego para la masa 1 dije lo siguiente:

$x_1=(L-y_2)sen(\alpha) \Rightarrow \dot x_1=-\dot y_2sen(\alpha)$
$y_1=(L-y_2)cos(\alpha) \Rightarrow \dot y_1=-\dot y_2cos(\alpha)$

por lo que las energias cineticas de cada masa seria:

$T_1=\frac{1}{2}m_1(\dot y_2)^2$
$T_2=\frac{1}{2}m_2(\dot y_2)^2$
EL potencial para cada masa seria :

$U_1=m_1g(L-y_2)cos(\alpha)$
$U_2=m_2gy_2$

Finalmente, el lagrangiano seria:

$L=\frac{1}{2}m_2(\dot y_2)^2+\frac{1}{2}m_1(\dot y_2)^2-m_1g(L-y_2)cos(\alpha)+m_2gy_2$

Y para encontrar las ecuacion de movimiento, se encuentra por E-L la ecuacion de mov para $y_2$ y de $y_1=L-y_2$ la ecuacion de movimiento para la masa $m_1$

De ante mano muchas gracias, y ojala puedan corregir mi solucion si tiene algun error.

Saludos

[arivasm]

Re: Lagrangiano masas sobre un cono

Edito: Dejo el texto que escribí originalmente, puesto que sería correcto (espero) si el ejercicio fuese general. Sin embargo, como el enunciado dice que las masas parten del reposo, lo que ha escrito dany_nash es correcto, salvo el pequeño error (quizá de transcripción) de la falta de un signo menos en la energía potencial de m2.

Éste es el texto que escribí originalmente:

Sólo haré un comentario inicial rápido: te falta una coordenada de tipo angular que describa la posición de $m_1$ en la circunferencia horizontal que en cada instante ocupa sobre el cono. En segundo lugar, el problema requiere de un tratamiento tridimensional, es decir, usar X, Y, Z. Por último, al considerar la energía potencial debes emplear el mismo origen (h=0) para las dos. Así, si usas el vértice del cono, la de $m_2$ será $-m_2 g y_2$ (claro que quizá sea un error de transcripción).

Edito: Y veo que al restar la energía potencial sólo has restado una de ellas y la otra la has puesto sumando (salvo que hayas manejado la expresión correcta para $U_2$, como dije antes).

Sobre la ecuación de movimiento, la dejo para otro momento (no la he analizado).

[arivasm]

Re: Lagrangiano masas sobre un cono

Edito: en la misma línea que comenté antes. Al final escribo el caso particular del ejercicio.

Éste era mi mensaje original:

Por si ayuda, y espero no haberme equivocado y transcribir correctamente mis resultados (cosas que me ocurren últimamente con demasiada frecuencia):

Lagrangiano (evito llamarle L, para no crear confusión con la L que aparece en el enunciado):

$\Lambda = \frac{1}{2}(m_1+m_2){\dot y_2}^2 + \frac{1}{2} m_1 (L-y_2)^2 {\dot \varphi}^2\sin^2 \alpha -m_1 g (L-y_2) \cos\alpha + m_2 g y_2$

Éste es el nuevo texto:

Lagrangiano (evito llamarle L, para no crear confusión con la L que aparece en el enunciado):

$\Lambda = \frac{1}{2}(m_1+m_2){\dot y_2}^2 -$$m_1 g (L-y_2) \cos\alpha + m_2 g y_2$

Por tanto, coincido con lo que has escrito.

[arivasm]

Re: Lagrangiano masas sobre un cono

Sobre la ecuación de movimiento, ya entiendo a qué te referías con E-L: Euler-Lagrange. Correcto. Además, en este caso particular es muy sencilla, verdad? (es un movimiento uniformemente acelerado)

[dany_nash]

Re: Lagrangiano masas sobre un cono

Gracias por la respuesta
jajaj si lo siento por lo de E-L

Una duda más, no es necesario transformar los ejes de coordenadas en esfericas?? asi se veria el movimiento completamente o esta demas ?

[arivasm]

Re: Lagrangiano masas sobre un cono

En los problemas de mecánica teórica debes identificar las variables que determinen de manera unívoca los estados del sistema y cuyo número será igual al de grados de libertad de este último. Por ejemplo, en el problema que planteaste había un único grado de libertad (yo creí que era más general, de manera que habría dos), con lo que habrá que elegir sólo una coordenada. El enunciado te remite a una muy concreta, que en el fondo es la coordenada Y de la masa inferior, al tomar el origen en el vértice del cono (y definir Y positivo hacia abajo). Pero también se podrían hacer otras elecciones, que seguramente serían más incómodas, como por ejemplo, la coordenada X de la masa superior. La idea es que dando el valor de la coordenada elegida podamos identificar de manera única cómo se encuentra nuestro sistema.

Una vez que has elegido las coordenadas para el sistema viene el problema de construir la lagrangiana, que en muchos casos (como el de este problema) pasa por encontrar antes la transformación a un sistema de coordenadas que facilite esa construcción (que es lo que hiciste al determinar las coordenadas cartesianas de la masa superior en función de la coordenada $y_2$). En este sentido, no hay nada que obligue a que se deban emplear las coordenadas cartesianas. Podemos usar otras cualquiera, por supuesto si a partir de ellas sabemos cómo construir la lagrangiana (las cartesianas se usan mucho en este paso intermedio porque la forma de la lagrangiana en coordenadas cartesianas es especialmente fácil).

Por supuesto, el tercer paso consiste en aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange (aunque hay otro procedimiento que pasa antes por construir la hamiltoniana del sistema y aplicar las ecuaciones de Hamilton) y resolverlas.

Todo este rollo que acabo de soltar es para responder a tu pregunta: ¿Es necesario transformar los ejes de coordenadas en esféricas? Pues, no, no es necesario. Yo añado: ¿es conveniente?. Pues me temo que, en este problema, tampoco.

Y termino con tu última pregunta: si lo hiciésemos ¿se vería diferente el movimiento?. Por supuesto que no, pues las coordenadas esféricas sólo las usarías para construir la lagrangiana en función de $y_2$ y, como te puedes imaginar, deberás obtener exactamente la misma que encontraste usando las, más tranquilas, coordenadas cartesianas.

Espero haberte aclarado las dudas y no haberlas oscurecido con tanto discurso!

Saludos!