1r ciclo Cambio variable en Lagrangiana

[Uranio]

El problema dice lo siguiente

Bajo la influencia de la gravedad, una partícula puntual de masa m se desliza sin fricción en un alambre con la forma de un cicloide, cuya ecuación paramétrica es:

$x=a(\theta -sin\theta)$
$y=a(1+cos\theta)$

Pregunta varias cosas el problema, entre ellas calcular la ecuación de movimiento a partir de la lagrangiana. Después de calcular la ecuación de movimiento pregunta:

Haciendo el cambio de $u=\cos (\theta/2)$ demostrar que la ecuación encontrada de movimiento se puede escribir de la forma:
$\frac{\mathrm{d^2u} }{\mathrm{dt^2} }+\frac{g}{4a}u=0$

Por tanto:
$T=\frac{1}{2}m(\dot x^2+\dot y^2)=ma^2\dot\theta^2(1-\cos \theta)$
$V=mgy=mga(1+\cos \theta)$
$L=T-V$

Aplicando la fórmula de Euler-Lagrange, he obtenido como ecuación de movimiento:

$2ma^2\ddot\theta(1-cos\theta)+2ma^2\dot\theta \sin\theta+mga\sin \theta=0$

En lo que me he quedado atrancado es en realizar este cambio de variable. Creo que lo demás está bien, pero si véis algún error me lo podeís comentar

[Xoc]

Re: Cambio variable en Lagrangiana

Despejando tienes,

$\theta = 2\arccos u$

De ahí, mediante la regla de la cadena sacas que,

$\dot{\theta} = \frac{d\theta}{du}\dot{u} = \boxed{\frac{-2\dot{u}}{\sqrt{1-u^2}}}$

$\ddot{\theta} = \frac{d}{dt}\bigg(\frac{d\theta}{du}\dot{u}\bigg) = \boxed{ \frac{-2\ddot{u}}{\sqrt{1-u^2}} - \frac{2u\dot{u}^2}{(1-u^2)^{3/2}}}$

Por otro lado, te interesa relacionar $\cos\theta$ i $\sin\theta$, con tu variable $u$. Las siguientes relaciones yo las he sacado del "Schaum",

$\cos2A = 2\cos^2A - 1, \text{ donde } A = \frac{\theta}{2}$

entonces:

$\boxed{\cos\theta = 2u^2 - 1}$

Por otro lado,

$\sin 2A = 2\sin A\cos A, \text{ donde } A = \frac{\theta}{2}$

se obtiene:

$\sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} = 2u\sin\frac{\theta}{2}$

utilizando que $\sin\frac{\theta}{2} = \sqrt{1-cos^2\frac{\theta}{2}} = \sqrt{1-u^2}$,

$\boxed{sin\theta = 2u\sqrt{1-u^2}}$

Arriba tienes las 4 piezas que necesitas para llegar a la ecuación que se te pide. El resto es substituir; te lo dejo a ti

Por cierto, respecto a la ecuación del movimiento que obtienes, a mi me ha salido diferente. Lo que he sacado es:

$\frac{d}{dt}\bigg(2a^2\dot{\theta}(1-cos\theta)\bigg) - a^2\dot{\theta}^2\sin\theta - ga\sin\theta = 0 \rightarrow 2a^2\ddot{\theta}(1-cos\theta) + a^2\dot{\theta}^2\sin\theta - ga\sin\theta = 0$

Utilizando esta última ecuación del movimiento, se llega a lo que pides.

[Uranio]

Re: Cambio variable en Lagrangiana

Gracias por la ayuda .
Es cierto, me había equivocado al obtener la ecuación de movimiento, aún así no me sale exactamente la misma que a tí:

$L=T-V=ma^2\dot\theta^2(1-\cos\theta)-mga(1+cos\theta)$
$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt} } \left( \frac{\partial L}{\partial \dot\theta } \right) -\left( \frac{\partial L}{\partial \theta } \right)=0$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt} } \left( \frac{\partial L}{\partial \dot\theta } \right)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt} }\left( 2ma^2\dot\theta(1-\cos\theta)\right)=2ma^2\ddot\theta(1-\cos\theta)+2ma^2\dot\theta\sin\theta$
$\frac{\partial L}{\partial \theta}=mga\sin\theta$

Por tanto:
$2ma^2\ddot\theta(1-\cos\theta)+2ma^2\dot\theta\sin\theta-mga\sin\theta=0$
$2a^2\ddot\theta(1-\cos\theta)+2a^2\dot\theta\sin\theta-ga\sin\theta=0$

$2a^2\ddot{\theta}(1-cos\theta) + a^2\dot{\theta}^2\sin\theta - ga\sin\theta = 0$

Solo me varía en un $\dot\theta^2$ y un factor 2, tal vez te equivocaste al escribirla, en caso contrario corrígeme

Voy a ver si realizo la sustitución, ya comento si tengo algún problema

P.D.: ¿Me podrías decir la página del libro Schaum?

[Xoc]

Re: Cambio variable en Lagrangiana

Hola Uranio,

El fallo esta cuando derivas respecto al tiempo y respecto a $\theta$. Sigue,

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt} } \left( \frac{\partial L}{\partial \dot\theta } \right) -\left( \frac{\partial L}{\partial \theta } \right)=0<br />$

Entonces:

$\text{A) }\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt} } \left( \frac{\partial L}{\partial \dot\theta } \right)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt} }\left( 2ma^2\dot\theta(1-\cos\theta)\right)=2ma^2\ddot\theta(1-\cos\theta)+2ma^2\dot\theta\underbrace{\frac{d}{dt}\bigg(\cos\theta\bigg)}_{\sin\theta\dot\theta}$

$\text{B) }\frac{\partial L}{\partial \theta}= \frac{\partial}{\partial \theta}\bigg(ma^2\dot\theta^2(1-\cos\theta)-mga(1+cos\theta) \bigg)<br />$

Como ves, en A), cuando derivas $\cos\theta$ respecto el tiempo, por la regla de la cadena:

$\frac{df[x(t)]}{dt} = \frac{df}{dx}\frac{dx}{dt} = \frac{df}{dx}\dot x$. De ahí sale tu $\dot\theta^2$.

En el apartado B), cuando derivas el lagrangiano respecto tu coordenada, fijate que esta aparece tanto en la energía cinética como en la potencial. Al derivar te aparece un término que resta, anulando el factor 2.

Saludos!

PD: las relaciones están en la página 16 de la 2a edición del "Schaum". En la 2a edición revisada, están en la página 54

[Uranio]

Re: Cambio variable en Lagrangiana

Muchas gracias Xoc, parece que he fallado en los más sencillo, aunque mejor fallar ahora y corregir que dentro de unos meses.
¡Problema resuelto!
Un saludo, y de nuevo gracias Xoc por tu tiempo.