2o ciclo Potencial Generalizado

[mjhelal]

Buenas:

Estoy teniendo problemas para intentar hallar el potencial generalizado dado por la siguiente fuerza:

$F=\frac{1}{{r}^{2 } } \left[ 1-\left(\frac{{ \dot{r}}^{2 }-2r\ddot{r}}{{{c}^{ 2} } } \right) \right]$

Lo que se es que una fuerza F deriva de un potencial generalizado U si:

$F=-\frac{\partial U} {\partial r} + \frac {d}{dt}\left( \frac{\partial U}{\partial \dot{r}} \right)$

Existe alguna técnica para resolver esta clase de ejercicios? Yo lo que atiné a hacer fue probar con potenciales de de distintas formas, siempre dependientes de $r$ y $\dot{r}$ pero sin éxito.

Muchas gracias!

[Xoc]

Re: Potencial Generalizado

Hola mjhelal,

fíjate que tu fuerza la puedes escribir como:

$F = \frac{1}{r^2} - \frac{\dot{r}^2}{c^2r^2} + \frac{2\ddot{r}}{c^2r}$

Ahora comparando, dado que:

$F = - \frac{\partial U} {\partial r} + \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial U}{\partial \dot{r}} \right)$

puedes proponer un potencial de la forma: $U(r) = \frac{1}{r} + Ar^\alpha\dot{r}^\beta + g(r)$

Si metes esto en tu ecuación para el potencial, e identificando, obtienes lo siguiente:

$\frac{\partial g}{\partial r} = 0 \rightarrow g = U_0 = cte.$

$A\alpha\dot{r}^\beta r^{\alpha-1}(\beta - 1) = -\frac{\dot{r}^2}{c^2r^2}$

$Ar^\alpha\beta(\beta-1)\dot{r}^{(\beta - 2)}\ddot{r} = \frac{2\ddot{r}}{c^2r}$

De donde puedes ver claramente que: $\beta = 2, \hspace{0.2cm} \alpha = -1, \hspace{0.2cm} A = c^{-2}$

Por lo que tu potencial toma la siguiente forma:

$\boxed{U(r) = \frac{1}{r}\bigg(1+\frac{\dot{r}^2}{c^2}\bigg) + U_0}$

Para resolver este tipo de ejercicios ya hacías bien: prueba distintas formas (intenta siempre que sean lo más generales y que tengan una "estructura" acorde con tu fuerza dada). Espero haberte ayudado.

Saludos

[mjhelal]

Re: Potencial Generalizado

Muhas gracias Xoc.