2o ciclo Función energía. Mecánica hamiltoniana

[joancli]

Hola a todos!

Tengo una duda en el problema que les escribo abajo y es que: ¿No están definidas la función energía (que no la energía) y el Hamiltoniano de la misma forma, para cualquier sistema?
Supongo que no deben ser iguales, puesto que sino, la cuestión no tiene ningún sentido pero en los apuntes me pone que la función energía (simplificada para un coordenada) es: E= pq'-L , es decir, la transformada de Legendre del lagrangiano que es el Hamiltoniano!!
¿Dónde está el error?

Un sistema físico de un único grado de libertad viene descrito por el lagrangiano: L=exp(q')+q, siendo q' la derivada temporal de la coordenada generalizada q. Encontrar la función energía asociada a este sistema. Encontrar el hamiltoniano del sistema. ¿Que relación y que diferencia hay entre la función energía y el Hamiltoniano?

Muchísimas gracias y encantado de formar parte de la comunidad.

[Xoc]

Re: Función energía. Mecánica hamiltoniana

Hola Joancli,

la única diferencia reside en las variables naturales de cada cosa. Sí, es correcto que ambos objetos se construyen de la misma forma. Aun así, para el hamiltoniano hay que ir un poco mas allá. Para construir la función energia tienes:

$h(q_i, \dot{q}_i, t) = \displaystyle\sum_i p_i\dot{q}_i - L(q_i, \dot{q}_i, t)$

Para el hamiltoniano,

$H(q_i,p_i,t) = \displaystyle\sum_i p_i\dot{q}_i - L(q_i, \dot{q}_i, t)$

Cuando tengas que calcular la función energía, deberas dejar esta, como función de las coordenadas y velocidades generalizadas, y el tiempo. Cuando calcules el hamiltoniano, tendras que calcular lo mismo y posteriormente deberás sustituir las velocidades por los momentos conjugados.

E.g., pongamos por caso el más simple. El de una partícula libre:

$L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2$

$p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = m\dot{q} \hspace{0.2cm} \rightarrow \hspace{0.2cm} \dot{q} = \frac{p}{m}$

Por lo tanto,

$h(q,\dot{q}) = p\dot{q} - \frac{1}{2}m\dot{q} = m\dot{q}^2 - \frac{1}{2}m\dot{q}^2 = \frac{1}{2}m\dot{q}^2.$ Esto es la función energia, si queremos el hamiltoniano, donde hay $\dot{q}$ ponemos su momento conjugado, $p$.

$H(q,p) = \frac{p^2}{2m}$

El ejercicio que propones es hacer básicamente esto. Espero haber ayudado, suerte!

[joancli]

Re: Función energía. Mecánica hamiltoniana

Muchas gracias Xoc. Todo aclarado