Otras carreras Movimiento de una partícula

[Putalepuff]

Una partícula de masa m comienza a moverse desde el reposo, partiendp de la parte más alta de un hemisferio fijo y liso de radio a. Encuentre las fuerzas generalizadas de ligadura y el ángulo en el cual la partículoa abandona superficie del hemisferio.

Encontré que la energía cinética me da $K=\dfrac12m a^2\overset{\cdot }{\mathop{\theta^2 }},$ pero al parecer no es esa.
Gracias.

[Xoc]

Re: Movimiento de una partícula

Hola Putalepuff,

Por conservación de la energía, tienes:

$\frac{1}{2}a\omega^2 = g(1-\cos\theta)$

Además, en el punto dónde se encuentra la partícula en tu dibujo, el balance de fuerzas te dice que (supongo que en cuanto a fuerzas de ligadura se refiere a estas: centrípeta, componente radial del peso y componente normal, además de la tangencial que no escribo)

$ma\omega^2 = mg\cos\theta - N$

Pierde el contacto con la superfície cuando $N = 0$. Entonces

$a\omega^2 = g\cos\theta$

Sustituyendo éste resultado en tu ecuación para la energía:

$\frac{1}{2}\cos\theta = 1-\cos\theta \hspace{0.2cm} \rightarrow \hspace{0.2cm} \cos\theta = \frac{2}{3}$

De aquí obtienes que: $\theta\simeq 48.2^o$. Espero que ayude. Suerte!

[Putalepuff]

Re: Movimiento de una partícula

Hola gracias, pero, cómo podría resolverse planteando el lagrangiano?

[Xoc]

Re: Movimiento de una partícula

Hmm, no tengo muy claro como se haría. El problema es que con lagrangianos, escoges unas coordenadas generalizadas. En ese caso, tienes como único grado de libertad la $\theta$. Dado que tu coordenada radial es constante, todo cuanto puedas obtener a partir del lagrangiano para ese problema, como mucho, será la fuerza que actúa en la dirección $\hat{\theta}$.

Recuerda que la mecánica lagrangiana te permite encontrar ecuaciones para las trayectorias. Ésta se "inventó" para solventar la resolución de algunos problemas que no eran nada fáciles de abordar con la mecánica de Newton. Eso no significa que la mecánica lagrangiana sea mejor y sirva para todos los problemas que son resolubles con la mec. de Newton. En problemas como el que planteas, es más fácil de resolver con la mecánica vectorial.

[arivasm]

Re: Movimiento de una partícula

Usaremos como coordenadas generalizadas el ángulo $\theta$ y la distancia $r$ al centro de la esfera. La energía cinética será $K=\frac{1}{2}m(\dot r^2+r^2\dot\theta^2)$ y la potencial $U=mgr\cos\theta$. Por tanto, la lagrangiana es $L=\frac{1}{2}m(\dot r^2+r^2\dot\theta^2)-mgr\cos\theta$.

Si no recuerdo mal, si tenemos un conjunto de fuerzas generalizadas de ligadura $Q_a$, debidas a un conjunto de ligaduras de la forma $f_a(q_1,q_2,...)=0$ (estoy usando $q_i$ para referirme a las coordenadas generalizadas), se cumple que

$$\dst\frac{\dd}{\dd t}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=\sum_a {Q_a}_i=\sum_a \lambda_a \frac{\partial f_a}{\partial q_i}$$

En nuestro caso tenemos una sola ligadura, $f(r,\theta)=r-a=0$, donde he usado $a$ para referirme al radio de la esfera. De esta manera, la fuerza de ligadura (que deberá equivaler a lo que usualmente llamamos la normal) tendrá una sola componente, $Q_r=\lambda$, pues $Q_\theta=0$.

Al llevar la lagrangiana anterior a (1) se tiene que

$$m\ddot r-mr\dot\theta^2+mg\cos\theta=\lambda$$

$r^2\ddot\theta+2\dot r\dot\theta-gr\sin\theta=0$

Como la ligadura es que $r=a$, estas expresiones se reducirán, mientras la ligadura se satisfaga, a

$$-ma\dot\theta^2+mg\cos\theta=\lambda$$

$$a^2\ddot\theta-ga\sin\theta=0$$

Para integrar la última expresión podemos introducir la función $u(\theta)=\dot\theta$, pues

$\dst\ddot\theta=\frac{\dd u}{\dd t}=\frac{\dd u}{\dd \theta}\frac{\dd \theta}{\dd t}=\frac{\dd u}{\dd \theta}u=\frac{1}{2}\frac{\dd u^2}{\dd \theta}$

y entonces (5) es

$\dst\frac{a}{2}\frac{\dd u^2}{\dd \theta}=g\sin\theta$

de donde resulta

$\dst u^2=-\frac{2g}{a}\cos\theta+\rm cte$

donde la constante la encontramos por la condición $u(0)=0$, es decir

$\dst u^2=\dot\theta^2=\frac{2g}{a}(1-\cos\theta)$

Si llevamos este resultado a (4) tenemos la fuerza de ligadura:

$Q=\lambda=mg(3\cos\theta-2)$

Observemos que para $\theta=0$ es $Q>0$. Como la fuerza de ligadura es tal que sólo puede tener un solo signo (en términos coloquiales, en este problema la normal no puede estar dirigida hacia adentro) su límite de actuación se corresponderá con $Q=0$ y entonces $\cos\theta=\frac{2}{3}$

[Lev]

Re: Movimiento de una partícula

Elegante resolución, arivasm! Y rigurosamente expresada.
Se abreviaría un poco expresando la T en L en función del momento de inercia. Y de hecho, tomando una sola coordenada como comenta Xoc, y expresando la Lagrangiana en función de a (=cte.)

$L=\frac{1}{2 }m{a}^{ 2}{\bar{\theta } }^{2 }-mga\cos \theta$ (donde la barra sobre teta expresaría el puntito de derivación que no sé aún cómo poner :-/

Esta lagrangiana ya lleva directamente a la expresión (5) de tu desarrollo. La (4) no se utiliza.
(Por cierto que en esta expresión (5) se ha colado inadvertidamente una $m$ que no debe de estar. (Me he leído con mucho interés tu trabajo ariv, por eso me he dado cuenta.))

De nuevo, un saludo cordial.

[arivasm]

Re: Movimiento de una partícula

Se abreviaría un poco expresando la T en L en función del momento de inercia. Y de hecho, tomando una sola coordenada como comenta Xoc, y expresando la Lagrangiana en función de a (=cte.)

$L=\frac{1}{2 }m{a}^{ 2}{\dot{\theta } }^{2 }-mga\cos \theta$
Esta lagrangiana ya lleva directamente a la expresión (5) de tu desarrollo. La (4) no se utiliza.

Ciertamente esa expresión para la lagrangiana es la que basta para describir el movimiento mientras la partícula está en contacto con la superficie. El problema es que no te permite encontrar la fuerza generalizada de ligadura ni tampoco el límite a partir del cual deja de ser válida, que era lo que pedía el enunciado. Es por ello que recurrí a el enfoque que expuse. De hecho es precisamente (4) la que ofrece respuestas a esas dos cuestiones.

(donde la barra sobre teta expresaría el puntito de derivación que no sé aún cómo poner :-/

El comando es \dot. Para poner un doble punto es \ddot.

(Por cierto que en esta expresión (5) se ha colado inadvertidamente una $m$ que no debe de estar.

Gracias, Lev, tienes razón. Ya lo he corregido.

[Lev]

Re: Movimiento de una partícula

El problema es que no te permite encontrar la fuerza generalizada de ligadura ni tampoco el límite a partir del cual deja de ser válida, que era lo que pedía el enunciado. Es por ello que recurrí a el enfoque que expuse. De hecho es precisamente (4) la que ofrece respuestas a esas dos cuestiones.

Sí. Yo mismo me lo estaba cuestionando a solas ahora hace un rato. Trataba de buscar algún modo de expresar la ligadura en función de $\theta$ exclusivamente..., pero no lo encontraba. (De todos modos, yo estoy flojo en Mecánica Analítica -que aún he de cursar en serio; ¡con el Goldstein!-); la poca que sé es la que he aprendido por mi cuenta, y la básica que se usa en otras materias).
Tu enfoque de rigor, siendo perfecto, me parecía un poco farragoso para ese problema, y por ello he intuido (mal) que debía de haber una solución más simple, usando la única coordenada que nos proporciona el enunciado.

Por lo que hace al comando para LATEX, te doy de nuevo las gracias por tu guía, arivasm. Y supongo que tendré que instalarme el programa en mi PC, pues la mínima plantilla disponible en el foro no da para mucho. Yo hasta ahora usaba MathType y estaba demasiado bien acostumbrado a su facilidad :-)

[arivasm]

Re: Movimiento de una partícula

Sobre el problema: el uso de las lagrangianas es matar una mosca de un cañonazo, pues las leyes de Newton son más que suficientes. De hecho, el problema es un clásico en varios hilos, incluso con rozamiento.

Sobre el MathType, si te animas a liberarte de Microsoft Word* y pasarte a LibreOffice (antes OpenOffice -ya sabes, gratuito, ultraconfigurable, transparente y todo ello sin tener que piratear o pagar una fortuna-) aunque tiene un editor de ecuaciones que está bastante bien, hay varios complementos que permiten introducir directamente ecuaciones en LaTeX. Yo uso TexMaths.

*Ya puestos, anímate a pasarte de Windows a Linux. Es un camino sin vuelta atrás: jamás querrás volver al puñetero sistema operativo en el que no eres dueño del ordenador.

[Lev]

Re: Movimiento de una partícula

Uau! Me he pasado unas cuantas horas siguiendo el vínculo que me das (y vínculos sucesivos a otros hilos sobre el mismo asunto). Estoy ahora empezando a percatarme de la amplitud y riqueza de contenidos de este foro. Te agradezcon pues, como siempre, tu indicación. (También he visto que buena parte de los links entre uno y otro hilo son obra tuya; un motivo más para felicitarte por la gran labor que vienes haciendo aquí).

Después de leer varias de las maneras alternativas en que se resuelve el problema -con y sin rozamiento-, he de decirte que la argumentación lagrangiana ya no me parece nada excesiva (ni farragosa) en este caso; la verdad es que me gusta cada vez más; al menos, más que la formulación vectorial según la segunda ley de Newton (el enfoque por conservación de la energía es el más conciso y cómodo, claro està).
Tu resolución de la lagrangiana con fuerzas de ligadura es para guardarla; así que la he imprimido y juntado a mis incipientes apuntes de Mecánica Analítica (de la que voy a matricularme, con las otras obligatorias de cuarto, el próximo Septiembre... Igual hasta sale este problema en el curso).
Por lo demás, también me ha parecido excelente tu resolución para el problema con rozamiento. Se nota que trabajas de profesor, y bien... La claridad de tus exposiciones, el desarrollo de tus cálculos, resultan modélicos: ni demasiado prólijos ni demasiado escuetos.
¡Y no creas que te estoy dando jabón!... ¡Soy en absoluto franco en esto!.

En cuanto a tus consejos sobre programas para matemáticas, sistemas operativos y demas, te estoy especialmente agradecido, pues mis conocimientos de informática son deleznables, y cualquier ayuda me llega como agua de Mayo. (Me ha quedado alguna duda, pero ya te preguntaré en otra ocasión; ahora ya no me da tiempo.)

(*) Volviendo a tu resolución de la lagrangiana en este mismo hilo, creo que hay otra pequeña errata tipográfica (en $\dst\frac{a}{2}\frac{\dd u}{\dd \theta}=g\sin\theta$, donde -si no voy mal- debería decir: $\dst\frac{a}{2}\frac{\dd {u}^{2 } }{\dd \theta}=g\sin\theta$. Ya me lo dirás.

[arivasm]

Re: Movimiento de una partícula

Gracias por tus palabras, Lev. Me sonrojo. Gracias también por cazar ese nuevo gazapo.

Disfruta mucho de la mecánica lagrangiana, pues es muy potente y divertida!