Otras carreras Rotaciones

[Putalepuff]

Hola, necesito exponer sobre un tema de rotaciones, en particular por favor bajen el archivo que adjunto: http://www.mediafire.com/?0sqnu31rzaiedo3

En la página 45, necesito hablar del tema que dice "Rotación de un vector en un ángulo $\phi$ respecto a un eje especificado por $\tilde n$"
Tengo que demostrar la fórmula (4.2) e interpretar los gráficos que aparecen. Después aparece el producto cruz para expresar la fórmula (4.2) en términos matriciales, pero necesito explicar por qué se hace, cuál es la finalidad.

Bueno eso, gracias.

[Putalepuff]

Re: Rotaciones

Nadie puede echarme una mano? Es que lo necesito para una nota.

[Aer]

Re: Rotaciones

Buenas, a ver si te sirve lo que hice, aunque no tengo mucha idea. Tan sólo hice trigonometría, no sé si valdrá como demostarción.

La ecuación 4.2 dice así:
$\vec r ' = \vec r +(\sin \phi )\hat n \times \vec r + (1-\cos\phi)\hat n \times (\hat n \times \vec r)$

El nuevo vector $\vec r'$ será el vector original $\vec r$ mas el desplazamiento $\vec d$dado por el ángulo $\phi$.

Está claro que el módulo de $\hat n \times \vec r$ es r y también lo es para el modulo de $(\hat n \times \vec r)\times \hat n$. Tenemos entonces la siguiente figura


Podemos expresar $u_x$ y $u_y$, vectores unitarios, como:

$u_x = \frac{(\hat n \times \vec r)\times \hat n}{|(\hat n \times \vec r)\times \hat n|} = \frac{(\hat n \times \vec r)\times \hat n}{r}$
$u_y = \frac{ \hat n \times \vec r } {| \hat n \times \vec r |} = \frac{ \hat n \times \vec r } {r}$

El desplazamiento $\vec d$ queda:

$\vec d = r\sin\phi\frac{ \hat n \times \vec r } {r} - r(1-\cos\phi)\frac{(\hat n \times \vec r)\times \hat n}{r} =\sin\phi(\hat n \times \vec r) + (1- cos\phi)\hat n \times(\hat n \times \vec r)$

Finalmente obtenemos la formula
$\vec r ' = \vec r + \vec d = \vec r +\sin\phi(\hat n \times \vec r) + (1- cos\phi)\hat n \times(\hat n \times \vec r)$

El resto que viene es pasar la formula a notación matricial. Y con lo de explicar los gráficos no sé a que te refieres. Bueno espero que te sirva, pon más dudas que tengas. Saludos!

[Aer]

Re: Rotaciones

Ah y lo del por qué de la notación matricial y por qué desarrolla eso, a ver si alguien lo puede responder, pero supongo que es para convertirlo en un operador?. Así consigues la matriz de rotación activa para un ángulo $\phi$ y si quieres saber la rotación de un vector $\vec r$ cualquiera tan solo multiplicas por la matriz 3x3 que has construido, siguiendo todo el proceso antes explicado, pero vamos que la ventaja creo que es, que una vez construida la matriz, ya solo tienes que multiplicar cada vez que quieras realizar una rotación, además de muchas, supongo, muchas otras ventajas de la notación matricial... te convence :P?