Otras carreras Equilibrio de momentos

[Aer]

No sé en qué sección debería colocar esto, pero es algo un poco general.
El problema es la notación que están usando, que para mi es nueva. Es la notación de índices, por ejemplo me ponen la ecuación del equilibrio de momentos
$\int_D e_{ijk} x_j X_k dv + \int_{\partial D}e_{ijk}x_jt_k ds = 0$
donde $x_j$ representa el vector de posición con respecto al origen de coordenadas y $e_{ijk}$ representa el tensor de índices de permutación con el siguiente significado
$e_{ijk} = 0$ si hay algún indice repetido.
$e_{ijk} = 1$ si i,j,k están en sentido dextrógiro.
$e_{ijk} = -1$ si i,j,k están en sentido levógiro.

Los indices me recuerda al determinante de una matriz 3x3, o en este caso un producto vectorial en $\mathbb R^3$. ¿¿Pero parece un determinante que da un escalar ?? donde lo estoy entendiendo mal, o ¿cuál es la interpretación correcta?

$<br /> e_{ijk} x_j X_k =(x_2 X_3 - x_3 X_2) + (x_3 X_1 - x_1 X_3) + (x_1 X_2 - x_2 X_1)<br />$
pero eso da un escalar, no?, no debería ser
$<br /> e_{ijk} x_j X_k =(x_2 X_3 - x_3 X_2) i + (x_3 X_1 - x_1 X_3) j + (x_1 X_2 - x_2 X_1) k<br />$

Saludos, y disculpen mi ignorancia

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mmm, con los determinates no habría problema ahora que lo vuelvo a leer, el único problema es en este caso, que no debería dar un escalar?.
Bueno, en definitiva parece que
$e_{ijk}a_i b_j c_k$
es el determinante de
$<br /> \begin{vmatrix}<br /> a_1 & a_2& a_3\\ <br /> b_1 & b_2 & b_3 \\ <br /> c_1 & c_3 & c_3 <br /> \end{vmatrix}$

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Creo que ya sé dónde puede estar el fallo. $e_{ijk} x_j X_k$ tiene como índice libre el i, si lo escribimos como una igualdad
$M_i = e_{ijk} x_j X_k$
Entonces se resuelve el problema, para i = 1, se guarda el resultado en $M_1$ y lo análogo ocurre para i = 2, i = 3, quedando el vector buscado. Además sigue sin haber problema con el determinante, pues en ese caso no hay indices libres $e_{ijk}a_ib_ic_i$ y daría como un resultado un escalar.

Bueno, espero que a alguien le sirva, saludos!