2o ciclo trayectoria de una partícula en un campo de fuerzas

[thekagas]

Buenas tardes, veamos si puedo explicar el problema de forma sencilla.

Supongamos que tenemos un campo de fuerzas conservativo dado por $\vec{F}(x,y,z)=x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}+z\hat{k}$ que asocia a cada punto del espacio euclídeo un vector fuerza. Bien, pues mi objetivo es, suponiendo que "soltamos" una partícula de masa "m" con velocidad inicial nula en un punto cualquiera, que por comodidad lo restringiremos al eje "x" (por ejemplo el punto (1,0,0), determinar la trayectoria que seguirá en dicho campo de fuerzas.

Vale, hasta aquí bien, ahora es cuando viene mi problema. Voy a resolverlo primero por Lagrange y luego por Newton, puesto que se supone que deben dar el mismo resultado y esto es lo que no me concuerda.

Por el método de LAGRANGE:

*para determinar el mov. de la partícula tenemos tres grados de libertad, luego elegimos tres coordenadas generalizadas, que en este caso serán las propias cartesianas $\left\{ x,y,z\right\}$.

*la expresión de la e. cinética nos queda $T=\frac{1}{2}m\Big( \dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2\Big)$

*y la de la e. potencial es $U=-\frac{1}{2}m\Big( x^2 + y^2 +z^2\Big)$

*con esto tenemos que el lagrangiano es $L=\frac{1}{2}m\Big( \dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2\Big)+\frac{1}{2}m\Big( x^2 + y^2 +z^2\Big)$

*ahora aplicamos las ec. de Euler-Lagrange para sacar la ec. del mov. en el eje x (con nuestras cond. iniciales restringimos el mov. a este eje) $\Rightarrow\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt} } \left( \frac{\partial L}{\partial \dot x } \right) -\left( \frac{\partial L}{\partial x } \right)=0$

*bueno omito las operaciones de derivadas, son bastante sencillas, el caso es que al final se llega a la ecuación diferencial $\ddot{x}-x=0$ que es independiente de la masa de la partícula! Esto nos dará soluciones de tipo hiperbólico con el tiempo.


Ahora por el método de NEWTON:

*Sabiendo que (en el eje x) ${F}_{x }=m\ddot{x}$ llegamos igualando componentes a $x=m\ddot{x}\Rightarrow m\ddot{x}-x=0$ que depende de la masa de la partícula!

Luego entonces nos han dado dos resultados distintos, uno independiente de la masa (que yo creo que será el correcto) y otro dependiente de la misma.

¿Cuál es el error en mi procedimiento? A ver si podéis sacarme de esta encrucijada. Muchas gracias!!

[oscarmuinhos]

Re: trayectoria de una partícula en un campo de fuerzas

*y la de la e. potencial es $U=-\frac{1}{2}m\Big( x^2 + y^2 +z^2\Big)$

*con esto tenemos que el lagrangiano es $L=\frac{1}{2}m\Big( \dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2\Big)+\frac{1}{2}m\Big( x^2 + y^2 +z^2\Big)$

Despistado!!!!!!
El potencial o gradiente asociado a la fuerza que te dan en el enunciado no tiene masa m!!!!

Suerte

[thekagas]

Re: trayectoria de una partícula en un campo de fuerzas

Despistado!!!!!!
El potencial o gradiente asociado a la fuerza que te dan en el enunciado no tiene masa m!!!!

Suerte

ya, pero según tengo entendido, una cosa es la función potencial del campo, que sería $V=-\frac{1}{2}\Big( x^2 + y^2 +z^2\Big)$ y otra cosa es la ENERGÍA POTENCIAL, que es simplemente multiplicar por la masa$\Rightarrow U=mV=-\frac{1}{2}m\Big( x^2 + y^2 +z^2\Big)$ y el lagrangiano es la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial, así que no entiendo qué ocurre

[oscarmuinhos]

Re: trayectoria de una partícula en un campo de fuerzas

Hola
Es una equivocación motivada por cierta falta de rigor en la terminología científica.
La V del Lagrangiano es el gradiente asociado a las fuerzas conservativas. Y, efectivamente, si la fuerza es una fuerza gravitatoria, ese gradiente es una energía potencial.
Puedes comprobarlo yendo a la demostración de las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Y una aclaración más:
En electrostática y en el campo gravitatorio para calcular la energía potencial multiplicamos por la carga o por la masa, respectivamente. Pero esto es debido a que el gradiente (o potencial) que tenemos no es el de la fuerza electrostática o el de la fuerza gravitatoria, sino el gradiente de la intensidad de campo electrostático o gravitatorio.

has entendido el equívoco?
Suerte

[thekagas]

Re: trayectoria de una partícula en un campo de fuerzas

Puff estoy del todo perdido en ese tema, no entiendo nada entonces en qué se diferencia el "potencial" de la "energía potencial" y cuál de las dos es la que se utiliza en el lagrangiano.

Por ejemplo, por qué la energía potencial gravitatoria depende de la masa de la partícula si el campo de fuerzas no depende de ella? (si no de la masa de la tierra). Estoy demasiado perdido jej

[oscarmuinhos]

Re: trayectoria de una partícula en un campo de fuerzas

No te preocupes. Todos anduvimos ...y seguimos....perdidos...

En primer lugar, conviene tener claro el concepto de energía potencial. Este concepto de energía potencial solo existe asociado a fuerzas conservativas, para las que el trabajo realizado al desplazarse de un punto a otro no depende del camino, por lo tanto, sino depende del camino solo puede depender de la posición. Podemos, por tanto, suponer que en cada punto del espacio está definida una función o un valor escalar (a la que llamamos Energía potencial) de forma que $U_A -U_B= {W}_{A\to\ B}$. En realidad, pues, lo que se tiene es una diferencia de energía potencial, nunca la energía potencial en un punto. Solo cuando definimos un nivel de energía cero, aparece un valor de energía potencial asociado a cada punto. Esta energía potencial es, desde luego, un gradiente asociado a la fuerza correspondiente y no puede hablarse de energía potencial si no hay asociada una fuerza conservativa...


En segundo lugar, conviene diferenciar bien entre potencial y energía potencial. Si tenemos una fuerza y calculamos el trabajo que realiza esta fuerza al desplazarse desde A hasta B, tenemos una diferencia de energía potencial:

$\dst \ {W}_{A\to B }= \int_A^B \ \vec{F} \ d\vec{r} = U_B \ - U_A$
Sin embargo si lo que integramos es una intensidad de Fuerza como una fuerza por unidad de masa o una Fuerza por unidad de carga (por supuesto si la fuerza es conservativa. la intensidad de fuerza también lo será), al resultado de esa integral se le llama diferencia de potencial (y ya no se trata de un trabajo):
$\dst \ {V}_{A\to B }= \int_A^B \ \vec{\frac{F}{m }} \ d\vec{r} = V_B \ - V_A$

Y lo mismo de antes, se trata de una diferencia de potencial (que equivale también a un gradiente asociado) Y solo cuando hayamos definido un origen para el potencial, podremos hablar de potencial en un punto.
Y si comparas la expresión de la energía potencial con la del potencial, efectivamente: $U_B \ - U_A = m \ (V_A \ -\ V_B \ )$

En tercer lugar, sobre el concepto de gradiente: cualquier campo vectorial "conservativo" (conservativo en el sentido de que su integral $\dst \int_A^B\vec{E} \ d\vec{r}$ no depende del camino -a esta integral se le llama circulación), puede ponerse como gradiente de un campo escalar. Así pues, el gradiente es un concepto más amplio que el de energía potencial (unicamente asociado a campos de fuerzas) y que el de potencial (asociado a intensidades de fuerzas)

En el caso de tu ejercicio, ya ves que tenías una fuerza, por lo tanto (al integrar) tendrás una energía potencial

No sé si la he líado o te he aclarado algo????
Animo

- - - Actualizado - - -

ya, pero según tengo entendido, una cosa es la función potencial del campo, que sería $V=-\frac{1}{2}\Big( x^2 + y^2 +z^2\Big)$ y otra cosa es la ENERGÍA POTENCIAL, que es simplemente multiplicar por la masa$\Rightarrow U=mV=-\frac{1}{2}m\Big( x^2 + y^2 +z^2\Big)$ y el lagrangiano es la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial, así que no entiendo qué ocurre

Ahora creo que puedes entender ya lo del lagrangiano: La V del Lagrangiano es el gradiente asociado a una fuerza (no a una intensidad de fuerza) y, por lo tanto, es correcto llamarle energía potencial y decir que el Lagrangiano es la energía cinética menos la energía potencial. El equívoco viene de que también es frecuente decir que la fuerza deriva de un potencial, cuando también se emplea potencial para el gradiente asociado a una intensidad de fuerza.

[thekagas]

Re: trayectoria de una partícula en un campo de fuerzas

No te preocupes. Todos anduvimos ...y seguimos....perdidos...

En primer lugar, conviene tener claro el concepto de energía potencial. Este concepto de energía potencial solo existe asociado a fuerzas conservativas, para las que el trabajo realizado al desplazarse de un punto a otro no depende del camino, por lo tanto, sino depende del camino solo puede depender de la posición. Podemos, por tanto, suponer que en cada punto del espacio está definida una función o un valor escalar (a la que llamamos Energía potencial) de forma que $U_A -U_B= {W}_{A\to\ B}$. En realidad, pues, lo que se tiene es una diferencia de energía potencial, nunca la energía potencial en un punto. Solo cuando definimos un nivel de energía cero, aparece un valor de energía potencial asociado a cada punto. Esta energía potencial es, desde luego, un gradiente asociado a la fuerza correspondiente y no puede hablarse de energía potencial si no hay asociada una fuerza conservativa...


En segundo lugar, conviene diferenciar bien entre potencial y energía potencial. Si tenemos una fuerza y calculamos el trabajo que realiza esta fuerza al desplazarse desde A hasta B, tenemos una diferencia de energía potencial:

$\dst \ {W}_{A\to B }= \int_A^B \ \vec{F} \ d\vec{r} = U_B \ - U_A$
Sin embargo si lo que integramos es una intensidad de Fuerza como una fuerza por unidad de masa o una Fuerza por unidad de carga (por supuesto si la fuerza es conservativa. la intensidad de fuerza también lo será), al resultado de esa integral se le llama diferencia de potencial (y ya no se trata de un trabajo):
$\dst \ {V}_{A\to B }= \int_A^B \ \vec{\frac{F}{m }} \ d\vec{r} = V_B \ - V_A$

Y lo mismo de antes, se trata de una diferencia de potencial (que equivale también a un gradiente asociado) Y solo cuando hayamos definido un origen para el potencial, podremos hablar de potencial en un punto.
Y si comparas la expresión de la energía potencial con la del potencial, efectivamente: $U_B \ - U_A = m \ (V_A \ -\ V_B \ )$

En tercer lugar, sobre el concepto de gradiente: cualquier campo vectorial "conservativo" (conservativo en el sentido de que su integral $\dst \int_A^B\vec{E} \ d\vec{r}$ no depende del camino -a esta integral se le llama circulación), puede ponerse como gradiente de un campo escalar. Así pues, el gradiente es un concepto más amplio que el de energía potencial (unicamente asociado a campos de fuerzas) y que el de potencial (asociado a intensidades de fuerzas)

En el caso de tu ejercicio, ya ves que tenías una fuerza, por lo tanto (al integrar) tendrás una energía potencial

No sé si la he líado o te he aclarado algo????
Animo

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Ahora creo que puedes entender ya lo del lagrangiano: La V del Lagrangiano es el gradiente asociado a una fuerza (no a una intensidad de fuerza) y, por lo tanto, es correcto llamarle energía potencial y decir que el Lagrangiano es la energía cinética menos la energía potencial. El equívoco viene de que también es frecuente decir que la fuerza deriva de un potencial, cuando también se emplea potencial para el gradiente asociado a una intensidad de fuerza.

Joer muchas gracias por explayarte tanto para explicarmelo de forma tan clara, creo que ya lo he comprendido, entonces volviendo al ejercicio que planteé al principio, se puede decir que si el campo en vez de definir la fuerza define la intensidad de fuerza (es decir sin incluir la masa de la partícula) la resolución que obtuve por lagrange sí sería correcta verdad?

Muchas gracias por tus aclaraciones