1r ciclo Lagrangiano, hamiltoniano, d'alambert

[Zhisi]

Hola. Tengo unas dudas sobre este tema.

El lagangiano sirve para obtener las ecuaciones de movimiento, pero:
¿para qué sirve el hamiltoniano?
¿y el principio de d'Alambert?
¿Qué representa $Q_i$?

He leído la teoría en un libro y en los apuntes de clase, pero no me aclaro.

Muchas gracias.

[arivasm]

Re: Lagrangiano, hamiltoniano, d'alambert

El hamiltoniano también permite encontrar las ecuaciones de movimiento. De manera semejante que el formalismo lagrangiano requiere de la solución de las ecuaciones de Euler-Lagrange, el hamiltoniano requiere de la solución de las ecuaciones canónicas de Hamilton. La ventaja, al menos sobre el papel, está en que se trata de ecuaciones de primer orden (mientras que las de Euler-Lagrange son de segundo orden). Por otra parte, si una coordenada es cíclica, es decir, no aparece explícitamente en la lagrangiana (y entonces tampoco en el hamiltoniano) su momento conjugado será una constante del movimiento, lo que hace que el número de ecuaciones a resolver se reduce en la misma cantidad que haya de coordenadas cíclicas, lo que facilita la resolución del problema.

El principio de D'Alembert en esencia es el famoso teorema del trabajo-energía (aquel que decía que el trabajo resultante que se realiza sobre una partícula es igual a la variación de su energía cinética), salvo que, si estás en un curso de Mecánica teórica te lo presentarán en un formato más generalizado y, por supuesto, infinitesimal.

Sobre las $Q_i$, imagino que serán las fuerzas generalizadas.

Se trata de conceptos muy potentes y que tienen mucha importancia en otras ramas de la Física (como sucede con el caso del hamiltoniano y la Mecánica cuántica), para los que te recomiendo que trates de relacionarlos con los conocimientos que ya tienes. Para esto simplemente analiza el caso de una sola partícula para la que empleases coordenadas cartesianas. Verás cómo las fuerzas generalizadas, por ejemplo, son entonces las componentes cartesianas de la fuerza de toda la vida, o cómo el hamiltoniano es la energía mecánica que has manejado de siempre.

También te ayudará usar los diferentes formalismos de la mecánica teórica con sistemas con un único grado de libertad y que conozcas hasta la saciedad, como por ejemplo el péndulo simple, en el que puedes usar como coordenada generalizada el ángulo que forma la cuerda con la vertical. Te ayudará a comprender el significado de los conceptos (p.ej, fuerza generalizada, momento conjugado) cuando ya no se trate de las coordenadas cartesianas de toda la vida (por ejemplo, verás que el momento conjugado de una coordenada angular como al anterior es el momento angular y cómo la fuerza generalizada correspondiente es el momento de la fuerza resultante).

Espero haber ayudado algo con tus preguntas, pues son conceptos que, por desgracia, tengo algo oxidados, a pesar de que la Mecánica teórica fue una de las asignaturas que me causó un mayor disfrute. Con esto último quiero animarte, pues aunque la entrada sea un tanto marciana, es una gozada ver cómo problemas que de otra manera serían muy difíciles se volverán relativamente sencillos de resolver!

[Zhisi]

Re: Lagrangiano, hamiltoniano, d'alambert

Muchísimas gracias!!! Tus explicaciones me están siendo de mucha ayuda. A ver si tengo tiempo y pruebo todo lo que comentas (alguno de esos casos ya los tengo hechos, y es cierto que sirven para afianzar conocimientos).

La $Q_i$ es la fuerza generalizada, en los apuntes utilizan dos letras para lo mismo (no entiendo porque...).

Si después de repasarlo tengo alguna duda ya comentaré.

Un saludo.