2o ciclo Mosca sobre puerta que gira (ejes no inerciales)

[Zhisi]

Hola. Necesito ayuda con el siguiente ejercicio. No se cómo plantearlo, bueno, se como lo plantearía yo, pero tiene poco que ver con lo que hemos visto en clase y en consecuencia supongo que está mal.

La puerta de la figura gira alrededor de sus goznes (eje OZ) con velocidad angular cte $\omega$. Sobre la puerta se mueve una moscadescribiendo una trayectoria circular de radio $r'$ con velocidad cte $v'$. El centro de este círculo se encuentra a una distancia $R$ del eje de rotación de la puerta. Calcula la aceleración de la mosca en la posición indicada en la figura.

Lo primero, cambio la notación: a $R$ lo llamo $d$ y a $v'$ lo llamo $V$, de lo contrario puede confundirse con los vectores posición relativo al eje sin primar y velocidad respecto al sistema primado.

Mi planteamiento es hallar la posición de la mosca $\vec{r}=\vec{R_{O'}}+\vec{r'}$ donde $\vec{R_{O'}}$ es la posición del origen primado respecto al origen no primado y $\vec{r'}$ es la posición de la mosca respecto de $O'$

A continuación derivo dos veces y obtengo la aceleración respecto del origen sin primar.

Doy por hecho que este planteamiento es incorrecto, así que si alguien se anima y me quiere ayudar a hacerlo paso a paso para entenderlo en profundidad y así poder enfrentarme yo al resto de ejercicios, se lo agardecería.

Un saludo.

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Creo que he hallado la solución.

De $\vec{r}=\vec{R_{O'}}+\vec{r'}$, derivando dos veces (teniendo en cuenta que los ejes primados no son ctes) obtengo la fórmula (la pongo sin los vectores pero todos los términos son magnitudes vectoriales):

$a=a_{O'}+ a'+\omega \wedge (\omega \wedge r')+2\omega \wedge v' +\dot{ \omega } \wedge r'$

donde:

$\dst \vec{R}=(dsen(\omega t), dcos(\omega t), h)$ h no la conocemos pero para la aceleración es irrelevante puesto que es cte. $\dst \frac{\mathrm{d^2}\vec{R} }{\mathrm{d}t^2 }=a_{O'}$

$\dst \vec{r'}=(0,r'cos(\frac{V}{r'}t+\theta ),r'sen(\frac{V}{r'}t+\theta ))$ Suprimera derivada es $v'$ y su segunda derivada es $a'$.

Sin embargo $\vec{R_{O'}}$ está expresado en la base cuyos vectores unitarios son $\hat{x},\hat{y},\hat{z}$ y $\vec{r'}$ está expresado en la base de vectores unitarios $\hat{x}',\hat{y}',\hat{z}'$ y por tanto la suma vectorial no se puede hacer componente a componente porque no coinciden. Entonces ¿cómo hay que dar el resultado para $\vec{r}$?

Me estoy haciendo un lío enorme, si alguien me puede ayudar a continuar o a replantear el ejercicio de nuevo se lo agradeceré eternamente jajaja!!

[felmon38]

Re: Mosca sobre puerta que gira (ejes no inerciales)

Hola, de acuerdo con que la ecuación la tienes que proyectar sobre los mismos ejes, pero como son paralelos coinciden las proyecciones de los vectores de la ecuación. Además en dicha ecuación no figura el vector posición de O´por lo que no veo el lío.