2o ciclo Método de Hamilton y Energía Cinética

[rruisan]

Estoy revisando el libro de Dinamica clasica de sistemas y particulas. Donde un ejemplo sobre el método del Halmitonia me genera una dudas

el ejemplo dice:

Encontrar la ecuación de moviento de una particula de masa m constreñida sobre el movimiento de una superfice de un cilindro definido por $x^2+y^2=\dot{R}^2$. La particula esta sujeta a una fuerza proporcional a la distancia de la particula desde el origen .

indica que la velocidad es $v^2=\dot{R}^2+\dot{R}^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2$

después pone la condición de que R es constantes , y le queda que la energia

$T=\frac{1}{2}m(R^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2)$

es mi duda en este ultimo paso no veo como queda ese resultado si R=cte, lo interpreto como que la derivada fuera cero pero en ese caso los dos primeros términos de la velocidad al cuadrado son cero. Y la ultima dua es que despues de esto define el lagrangiano del sistema que no entiendo ¿porque? ¿se puede empezar definiendo el hamiltoniano?


Si alguien tiene el libro el ejemplo esta en la pagina 268. Gracias de antemano.

[arivasm]

Re: Método de Hamilton y Energía Cinética

Antes de nada, tienes varios errores en lo que has escrito, seguramente porque se te "colaron" comandos \dot. Así, la ecuación del cilindro será $x^2+y^2=R^2$, sin el punto sobre la R. Igualmente, la de la velocidad es $v^2=\dot{R}^2+R^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2$, sin el punto sobre la R del segundo sumando.

La demostración de esta expresión procede de $x=R\cos\theta$, $y=R\sin\theta$, y entonces $\dot x=\dot R\cos\theta-R\dot\theta\sin\theta$, $\dot y=\dot R\sin\theta+R\dot\theta\cos\theta$ y entonces $\dot x^2+\dot y^2=\dot R^2+R^2\dot\theta^2$.

Con respecto a tu pregunta, simplemente se trata de que como en este caso R es constante su derivada temporal es nula, con lo que el primer sumando del cuadrado de la velocidad se va, pero no el segundo (pues, como dije ahí va R a secas, sin el punto): $v^2=R^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2$

- - - Actualizado - - -

Se me olvidaba: el método tanto puede aplicarse manejando el lagrangiano (que *por definición* es $L=T-U$) y aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange, o bien construir a partir del lagrangiano el hamiltoniano y luego aplicar las ecuaciones de Hamilton. De todos modos, me da la sensación de que todavía estás al principio, por lo que será mejor que te aclares antes con el método de Euler-Lagrange y luego te metas con el hamiltoniano, no porque sea especialmente difícil, sino por llevar las cosas con cierto orden.

[rruisan]

Re: Método de Hamilton y Energía Cinética

Gracias por la corrección y la sugerencia arivasm, solo que en la velocidad en el libro le ponen el punto en el segunto termino en R (me imagino que es un error de igual forma poner el primer tèrmino en R que no lo llevaria si estoy en lo correcto ), voy a tratar de verificarlo haciendo ya que como es un ejemplo solo lo lei, no lo he hecho, tenia algunas dudas. Gracias.