1r ciclo Estabilidad de un sistema

[ender550]

Buenas,

Hay una cuestión del temario que tengo de mecánica que no me ha quedado muy clara. La cuestión es, ¿cuándo el movimiento de un sólido rígido en rotación es estable? ¿Qué condiciones se tienen que dar para que un cuerpo describa una rotación estable?

Tengo entendido que un cuerpo describe un movimiento estable cuando al producir una perturbación sobre él, éste vuelve al estado de equilibrio de nuevo. Pero, ¿una perturbación es un momento de fuerza? ¿Cómo puedo saber si vuelve al estado de equilibrio o no?

Igual así es demasiado general, así que he buscado un problema donde se pregunta esto:

Una esfera homogénea situada en el vacío está rotando inicialmente con velocidad angular constante $\vec{\omega}={\omega}_{0}\vec{k}$. ¿Es estable dicho movimiento?

No sé cómo demostrar que es estable o que no lo es. ¿Sabéis algún libro donde se explique claro? No he encontrado nada sobre la estabilidad del movimiento todavía.

Gracias !

[gdonoso94]

Re: Estabilidad de un sistema

Contesto tarde, pero más vale tarde que nunca. Mira este pdf que te dejo a continuación, a partir de la página 9 del pdf (la 141, creo, del documento) hablan sobre la estabilidad de un sistema rigido.

http://faeuat0.us.es/ff/Carpetas/Apuntes/Tema05.pdf

Mucho ánimo!

- - - Actualizado - - -

Además de esto, investigando por ahí me acabo de encontrar el siguiente teorema:

[FONT=CMBX10]"Theorem 15.3.1 (Rigid Body Stability Theorem). [/FONT][FONT=CMTI10]In the motion ofa free rigid body, rotation around the long and short axes are [/FONT][FONT=CMR10]([/FONT][FONT=CMTI10]Liapunov[/FONT][FONT=CMR10])[/FONT][FONT=CMTI10]stable and rotation about the middle axis is unstable. "


[/FONT]

[visitante20160513]

Re: Estabilidad de un sistema

me parece que estamos confundiendo el equilibrio estable con el movimiento estable. Creo que son cosas distintas. El primer concepto es un problema de estática, el segundo parece ser un concepto derivado de la teoría de los sistemas dinámicos.

Salu2

[ZYpp]

Re: Estabilidad de un sistema

En este contexto, sistema estable es aquel que bajo una pequeña perturbación (digamos perturbación infinitesimal para hacernos una idea, aunque no tiene por qué) en el espacio de fases conlleva a que el movimiento de todo el sistema quede acotado en las inmediaciones del "punto de equilibrio". Ojo, no menciono que vuelva a la posición de equilibrio. La definición así dada no es restrictiva para sistemas estáticos y, por tanto, se extiende a sistemas dinámicos. En este contexto, los teoremas de Lejeune-Dirichlet y de Lyapunov establecen condiciones suficientes de estabilidad.

De todas formas, para entrar en la estabilidad de sistemas dinámicos únicamente en rotación no hace falta adentrarse tanto en la mecánica teórica. Basta con darse cuenta de que si la rotación coincide con uno de los ejes principales de inercia, el momento cinético y la rotación son paralelas. Esto implica, mediante la conservación del momento cinético, que la rotación se mantiene constante. Sin embargo, si se perturba la rotación puede que la rotación se mantenga próxima a la dirección principal de inercia o se aleje indefinidamente. Si se mantiene próxima, la configuración es claramente estable e inestable en el caso contrario. De las ecuaciones de Euler, con $\omega_1$ predominante frente a las demás (rotación entorno a un eje principal de inercia) componentes de la rotación, así como la relación $I_1 > I_2 > I_3$ se extrae:

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Las dos últimas pueden escribirse de la forma

$$\ddot \omega_k + C \omega_k = 0 \quad k=2,3$$

con la constante C
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Por lo que la solución de las componentes 2 y 3 son armónicas y se mantienen siempre en valores pequeños. Es decir, en este caso la rotación es estable. Si hacemos lo mismo para una rotación entorno al eje mediano, es decir con $\omega_2$ predominante, se llega a una expresión del tipo:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Por lo que la solución de las rotaciones 1 y 3 sería una combinación de exponenciales crecientes y decrecientes, con lo que la rotación terminaría alejándose del eje 2. En este caso, el equilibrio es claramente inestable.

me parece que estamos confundiendo el equilibrio estable con el movimiento estable. Creo que son cosas distintas. El primer concepto es un problema de estática, el segundo parece ser un concepto derivado de la teoría de los sistemas dinámicos.
Salu2

El concepto es realmente el mismo.

[visitante20160513]

Re: Estabilidad de un sistema

Yo contestaría de la siguiente forma. La idea es averiguar si el movimiento se conserva no cuando se aplica una perturbación sino cuando se deja el solido en libertad sometido únicamente a su inercia. Cuando el eje de rotación pasa por su CDG el movimiento será estable porque se conserva, en otros casos el movimiento será inestable debido a que deben cumplirse las leyes de conservación del momento cinético y del momento angular. El sólido iniciará un desplazamiento lineal para conservar su momento lineal y seguirá girando con una velocidad angular determinada para conservar su momento angular.

Salu2

[gdonoso94]

Re: Estabilidad de un sistema

Sabía que si ponía algo os ibais a animar a darle formalismo :P. Gracias a los dos.

Un saludo

[ZYpp]

Re: Estabilidad de un sistema

La idea es averiguar si el movimiento se conserva no cuando se aplica una perturbación sino cuando se deja el solido en libertad sometido únicamente a su inercia.

Si usamos conceptos de "estabilidad" distintos, cualquier razonamiento/discusión sobre el tema es absurdo. Estamos hablando de cosas distintas.

[visitante20160513]

Re: Estabilidad de un sistema

Sí, eso es evidente para mi, cada uno de los dos estamos dando una interpretación distinta al enunciado. Para mi la correcta es la que estoy dando yo, no trato de matizar o ampliar la tuya, solo interpreto el enunciado en una determinada forma y resuelvo aplicando las leyes de la física, pero por supuesto eso no quiere decir que mi interpretación sea la correcta, tan solo es mi interpretación del enunciado, que por cierto resulta bastante confuso.

Salu2

[felmon38]

Re: Estabilidad de un sistema

Cuando leí el problema planteado por sender

Una esfera homogénea situada en el vacío está rotando inicialmente con velocidad angular constante . ¿Es estable dicho movimiento?

no entré en el hilo porque me chocó lo de la velocidad angular inicial constante y lo de la estabilidad dinámica, porque yo la estabilidad la asociaba con el equilibrio, así que no contesté, pero visto como se ha animado esto, intentaré resolver a ender (si es que sigue leyendo este hilo) la siguiente cuestión (las letras en negrita son vectores o tensores según sean minúsculas o mayúsculas) :

"Se lanza un sólido rígido en el vacío con v_G0 y w₀ iniciales. Condiciones para que w = w₀ "

En este caso la aceleración angular debe ser igual a 0 Según la ecuación de Euler desarrollada, al ser el momento de las fuerzas exteriores ( mg ) respecto de G igual a 0 :

0 = 0 + w x (I_G.w)

por lo que los dos vectores w e I.w deben de ser paralelos. Proyectando estos vectores sobre los ejes principales de inercia del sólido esta condición se cumple si la velocidad angular inicial tiene la misma dirección que los ejes principales de inercia. En el caso particular en el que el sólido rígido sea una esfera, cualquier radio es eje principal de inercia, por lo que cualquiera que sea la velocidad angular inicial, esta permanecerá constante y el movimiento de la esfera estará definido por la velocidad de G en su trayectoria parabólica y por la velocidad angular inicial, constante.

.

[ender550]

Re: Estabilidad de un sistema

Sí sí, sigo viendo este hilo. Cuando pasaron unos días y no hubo respuestas dejé de mirar porque normalmente siempre se responde un hilo al poco tiempo de ser publicado.
He leído las respuestas y me ha quedado resuelta la duda que tenía, pero la respuesta que más me ha gustado es la de ZYpp, en la que resuelve las ecuaciones de Euler y en función del resultado deduce si el movimiento es estable o no. Supongo que esta respuesta me ha convencido porque la forma en que está resuelto es muy parecida a la forma en que he estado viendo explicados los sistemas mecánicos en mi clase.

Es verdad que la pregunta podía dar lugar a confusión, lo admito . Aun así, ¡muchas gracias a todos por responder !