1r ciclo derivación de la fuerza según su energía potencial

[Aelenium]

Hola, gente.
[FONT=lucida grande]
Ya estudié que para conseguir campo de fuerza vectorial (campo eléctrico, gravedad de Newton, etc) de un [/FONT]potencial escalar U, es necesario aplicar la gradiente de la función U:
[FONT=lucida grande]F= - [/FONT][FONT=lucida grande]([/FONT]gradient) U.
[FONT=lucida grande]
Mi pregunta es la siguiente: de dónde sale el signo negativo en la equación? Por qué necesito el signo negativo para obtener la fuerza aplicada a un cuerpo bajo un potencial U?

Muchas gracias por la ayuda
[/FONT]

[gdonoso94]

Re: derivación de la fuerza según su energía potencial

Es por el teorema de la conservación de la energía. Se pone simplemente para que este se cumpla.

Un saludo.

Edito: he estado pensándolo un poco y también puede tener que ver con que un aumento de la energía cinética corresponde a una disminución de la energía potencial, de ahí el signo.

[abuelillo]

Re: derivación de la fuerza según su energía potencial

Simplemente porque por ejemplo en el caso de la gravedad de newton, estamos definiendo vectores de fuerzas atractivas. Por ejemplo la tierra genera un campo gravitatorio que atrae las cosas hacia ella, si no pusieses el signo negativo, saldrian vectores que se alejan de la tierra, es decir la gravedad seria repulsiva en lugar de atraer.

[Umbopa]

Re: derivación de la fuerza según su energía potencial

Como dice gdonoso94 :

E = T + U ---> dE = dW = dT + dU

suponiendo que no existen fuerzas no conservativas , W=0

dT = -dU

dT = m v · dv = F · dr

dU = grad(U) · dr

F = -grad(U)

negrita es un vector

[leo_ro]

Re: derivación de la fuerza según su energía potencial

La fuerza gravitatoria se define como:

$\dst \vec{F}= - G \frac{m M}{{r}^{3} }\vec{r}$

Hay un signo negativo ya que la fuerza que siente un cuerpo, por ejemplo el de masa $m$, tiene el sentido opuesto a la dirección del vector $\vec{r}$ que va del cuerpo de masa $M$ (el que genera la fuerza por así decirlo) al cuerpo que siente la fuerza $m$ (dicho vector es el de posición). Es por eso que el campo gravitatorio que genera un cuerpo es

$\dst \vec{g}= \frac{\vec{F}}{m }=- G \frac{ M}{{r}^{3} }\vec{r}$

En donde $\vec{r}$ es la posición (dirección) que va del cuerpo de masa $M$al punto donde este genera una fuerza $\vec{F}$ sobre unidad de masa $m$.

La energía potencial es el trabajo de la fuerza que actúa en el cuerpo $m$ debida a $M$ en llevarlo desde la posición ${r}_{0}$ hasta un punto de referencia (que se toma como el infinito).

$\dst {\int}_{{r}_{0}}^{\infty} - G \frac{m M }{{r}^{2} } dr = - G \frac{m M}{ {r}_{0}}$

Y tiene sentido el signo ya que la fuerza es atractiva y la fuerza actúa en sentido opuesto al desplazamiento (de llevarla hasta el infinito)

El gradiente apunta en la dirección en donde la función escalar crece más rápidamente. Y la energía potencial gravitatoria es mayor (en módulo) mientras más alejado estén los cuerpos, así que el gradiente apunta en la dirección (radial) en donde los cuerpos se separan. Y la fuerza gravitatoria apunta en la dirección en que los cuerpos se acercan (atractiva). Por lo que apuntará en la dirección opuesta al gradiente.

$\nabla U = - \vec{F}$

[arivasm]

Re: derivación de la fuerza según su energía potencial

No es por marear, pero la verdadera razón es la que señalan gdonoso94 y Atrode. Nada habría impedido definir la energía potencial de manera que la fuerza correspondiente fuese $+\vec\nabla U$. La única consecuencia es que entonces la energía mecánica tendría una definición bastante más fea ($E=K-U$) lo que impediría analizar los fenómenos físicos como intercambios de energía.

En resumen, contradigo a abuelillo y leo_ro y su empeño en relacionar el signo menos con el carácter atractivo de las fuerzas. Sin ir más lejos, en un sistema de dos cargas del mismo signo la fuerza es repulsiva y sigue siendo cierto que $\vec F=-\vec \nabla U$.

[abuelillo]

Re: derivación de la fuerza según su energía potencial

No es por marear, pero la verdadera razón es la que señalan gdonoso94 y Atrode. Nada habría impedido definir la energía potencial de manera que la fuerza correspondiente fuese $+\vec\nabla U$. La única consecuencia es que entonces la energía mecánica tendría una definición bastante más fea ($E=K-U$) lo que impediría analizar los fenómenos físicos como intercambios de energía.
.

El tema de caracter atractivo era solo un ejemplo, la cuestion importante era que la fuerza tiene que tener la direccion correcta (sea atrativa o repulsiva).
La pregunta inicial no era: por que se define el potencial de la forma que se define (y no con un signo negativo extra), a esta pregunta si solo seria valido decir que es mas comodo para trabajar con la energia mecanica.

[leo_ro]

Re: derivación de la fuerza según su energía potencial

¿te refieres arivasm a que $\dst \nabla U = -\vec{F} \Rightarrow {\int}_{C} \vec{F} d\vec{l} = - \Delta U$ ?

Con respecto a que nada impide en definir la fuerza de manera que $\nabla U = \vec{F}$. Pero eso implicaría en cambiar el sentido del vector posición. En vez de que el vector posición que va del cuerpo que genera la fuerza al que siente la fuerza, se definiría la dirección del cuerpo que siente la fuerza al que la genera.

Es decir:

En vez de

$\dst \vec{F} = -G \frac{mM}{{r}^{3} } {\hat{r}}_{Mm}$ (1)

sería

$\dst \vec{F} = G \frac{mM}{{r}^{3} } {\hat{r}}_{mM}$ (2)

Así, si se define como en (2) la energía potencial quedaría:

$\dst U = G \frac{mM}{{r}_{0} }$

Y el trabajo de la fuerza

$W = \Delta U$

[arivasm]

Re: derivación de la fuerza según su energía potencial

El tema de caracter atractivo era solo un ejemplo, la cuestion importante era que la fuerza tiene que tener la direccion correcta (sea atrativa o repulsiva).
La pregunta inicial no era: por que se define el potencial de la forma que se define (y no con un signo negativo extra), a esta pregunta si solo seria valido decir que es mas comodo para trabajar con la energia mecanica.

La pregunta inicial era ésta:

[FONT=lucida grande]Mi pregunta es la siguiente: de dónde sale el signo negativo en la equación? Por qué necesito el signo negativo para obtener la fuerza aplicada a un cuerpo bajo un potencial U?[/FONT]

¿te refieres arivasm a que $\dst \nabla U = -\vec{F} \Rightarrow {\int}_{C} \vec{F} d\vec{l} = - \Delta U$ ?

No me refería a ello, pero lo que escribes es correcto: tal como se define el concepto de energía potencial el trabajo realizado por la fuerza conservativa es igual a lo que disminuye su energía potencial.

Con respecto a que nada impide en definir la fuerza de manera que $\nabla U = \vec{F}$. Pero eso implicaría en cambiar el sentido del vector posición. En vez de que el vector posición que va del cuerpo que genera la fuerza al que siente la fuerza, se definiría la dirección del cuerpo que siente la fuerza al que la genera.

Es decir:

En vez de

$\dst \vec{F} = -G \frac{mM}{{r}^{3} } {\hat{r}}_{Mm}$ (1)

sería

$\dst \vec{F} = G \frac{mM}{{r}^{3} } {\hat{r}}_{mM}$ (2)

Así, si se define como en (2) la energía potencial quedaría:

$\dst U = G \frac{mM}{{r}_{0} }$

Y el trabajo de la fuerza

$W = \Delta U$

No veo la necesidad de cambio del vector de posición que señalas. (1) y (2) son en realidad expresiones equivalentes e independientes de cómo se defina la energía potencial. Sí es cierto que la energía potencial gravitatoria para un par de partículas sería como indicas y también que el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sería igual a la variación de la energía potencial gravitatoria.

Por recurrir a ejemplos menos rebuscados, el peso de los cuerpos en un campo gravitatorio uniforme seguiría siendo $\vec P=-mg\hat z$ (con la dirección Z tomada positiva hacia arriba). Lo que cambiaría es que la energía potencial gravitatoria sería $U=-mgh=-mg(z-z_0)=mg(z_0-z)$.

[leo_ro]

Re: derivación de la fuerza según su energía potencial

Es que si no es necesario que el vector posición cambie de sentido entonces de qué manera el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria podría ser igual a la variación de la energía potencial y no al negativo de esta. ¿Lo que tu me quieres decir es que depende de qué punto se tome como referencia?

Porque no entiendo que quisiste demostrar con:

[FONT=Verdana]Por recurrir a ejemplos menos rebuscados, el peso de los cuerpos en un campo gravitatorio uniforme seguiría siendo [/FONT][FONT=Verdana] (con la dirección Z tomada positiva hacia arriba). Lo que cambiaría es que la energía potencial gravitatoria sería [/FONT][FONT=Verdana].[/FONT]

Porque si el peso es $\vec{P} = -mg \hat{z}$ entonces tiene la forma de (1). Y su energía potencial por lo tanto sería

$U= - G \frac{mM}{z }= - mg z$

Así que el trabajo del peso ${W}_{p}= -\Delta U = - (0 - mgz) = mgz$

[gdonoso94]

Re: derivación de la fuerza según su energía potencial

Porque si el peso es $\vec{P} = -mg \hat{z}$ ...

Eso que has puesto es igual a $\vec{P}=mg (-\hat{z})$, deberías tenerlo en cuenta.

De todas maneras, estos temas hay que verlos desde un contexto histórico de la evolución de la mecánica clásica. Trascendentalmente se puso el signo negativo para poder enunciar el teorema de la conservación de la energía y que este fuera útil para realizar cálculos.

Un saludo!

[guibix]

Re: derivación de la fuerza según su energía potencial

Buenas.

Quiero apuntar algo que no se ha dicho, no porque sea más importante pero sí para complementar la información.

Una fuerza causada por una variación de energía potencial apunta en la dirección en la que la energía potencial decae más rápidamente (como pasa con las trayectorias de los ríos). Luego esta dirección corresponde con la pendiente de la energía potencial, entonces es su función derivada respecto a la posición. Solo que si hacemos la derivada "a secas", el campo vectorial resultante en cada punto apunta en la dirección en la que la energía potencial aumenta más rápidamente. Y como lo que buscamos está en el sentido opuesto, ponemos un signo menos delante y voilá.

Evidentemente y como ya se ha dicho esto puede ser al revés cambiando todos los signos. Y por motivos históricos se ha elegido esta forma.

Algo de lo que no estoy tan seguro, es que podría haber un explicación más fundamental en el Principio de Acción ya que es el que manda a la hora de hallar de entre todas las trayectorias que conservan la energía cuales minimizan la Acción. Lo digo porque parece que la Conservación de la Energía podría no ser una explicación suficiente. Aunque de esto no estoy nada seguro ya que me cuesta discernir si es primero el huevo o la gallina .

Saludos.

[leo_ro]

Re: derivación de la fuerza según su energía potencial

Sigo sin poder entender de qué manera la fuerza puede tener el sentido de la dirección en la variación positiva de la energía potencial.

$\vec{F}=-\nabla U$ por lo tanto $U = - {\int}_{C} \vec{F}d\vec{l} = - {W}_{\vec{F}}$

Ahora la única forma de que $\vec{F}=\nabla U$, es que la fuerza tenga el sentido opuesto y el único factor, pienso yo, que puede cambiar de sentido en la expresión de la fuerza es el vector posición, como expresé anteriormente. Porque un factor escalar (como la masa o la constante gravitacional) sea negativo no tiene mucho sentido.

[guibix]

Re: derivación de la fuerza según su energía potencial

Sigo sin poder entender de qué manera la fuerza puede tener el sentido de la dirección en la variación positiva de la energía potencial.

Bueno, yo no lo aseguraría al 100% pero es que la fuerza generada por un campo SIEMPRE apunta en la dirección en la que la energía es menor. De aquí el negativo y esto es un principio que no puede cambiarse a la ligera es algo que observamos en la naturaleza una vez definido lo que la energía potencial es. Es el equivalente a la Segunda Ley Termodinámica: nunca conseguirás que un émbolo que separa dos gases a distinta presión se mueva por si solo hacia la dirección de mayor presión.

Salud.

[leo_ro]

Re: derivación de la fuerza según su energía potencial

Lo que pasa es que se entra en qué se define primero si la fuerza o la energía. Yo personalmente pienso que primero se define la fuerza$\dst \vec{F} = m \frac{\mathrm{d v} }{\mathrm{dt} }$

De manera de que si $rot (\vec{F})=0\hat{\imath}+0\hat{\jmath}+0\hat{k}$ es aplicable el teorema fundamental de la integral de linea

$\dst {\int}_{a}^{b} \vec{F}d\vec{l} = {U}_{b} - {U}_{a}$

Y acá creo que está la cuestión, que es lo que ustedes han estado diciendo. Porque el trabajo de la fuerza es igual a la variación, lo que complicaría el desarrollo matemático del teorema de la energía cinética. Así que la definición correcta sería:

$\dst {\int}_{a}^{b} \vec{F}d\vec{l} = - ({U}_{b} - {U}_{a}) = -\Delta U$

Y ahora pregunto, ¿La expresión anterior tiene un signo negativo por algo demostrado experimentalmente o solamente de manera de que quede cómo el teorema de la energía cinética, es decir:

$\dst {W}_{fc}+{W}_{fnc}=\Delta {E}_{c} \Rightarrow {W}_{fnc}=\Delta U + \Delta {E}_{c}$

y no $\dst {W}_{fnc}=- \Delta U + \Delta {E}_{c}$