2o ciclo Distancia recorrida según el principio de mínima acción.

[leo_ro]

Sea un péndulo formado por una masa de 1 Kg sujeta por una cuerda inextensible de 1 metro y masa despresiable. El principio de mínima acción establece que la trayectoria que seguirá dicho sistema será tal que minimice la acción.

Si tomo como el instante inicial la posición de desequilibrio cuando al péndulo lo llevo a la altura de 1 metro. Siendo el origen de coordenadas la posición de equilibrio. El langrangiano será

$\dst L = T - U = 0 - mgh \Rightarrow L = - 9.8 [J]$

La acción hasta el segundo sería:

$\dst S= {\int}_{0}^{1} - 9.8 [J] dt = -9.8 [Js]$

Ahora bien, esa cantidad (9.8[Js]) ¿es la mínima acción? y ¿cómo puedo obtener la trayectoria que da pie a esa mínima acción? Supongo que hay una relación directa entre $S$ y la trayectoria. Pero pregunto desde un punto de vista general porque en el caso del péndulo hay solo una trayectoria posible ya que hay un grado de libertad. La coordenada generalizada es $\theta$.

Saludos.

[felmon38]

Re: Distancia recorrida según el principio de mínima acción.

Leo, tienes que poner el lagrangiano en general, no en el instante inicial.

[leo_ro]

Re: Distancia recorrida según el principio de mínima acción.

¿Y cómo sería el general? ¿En qué instante? ya que como no actúa ninguna fuerza no conservativa $\Delta T = -\Delta U$

[oscarmuinhos]

Re: Distancia recorrida según el principio de mínima acción.

Hola
Como sería?


$L= T-U$

Usando, -para mayor comodidad-, el ángulo $\theta$ como coordenada generalizada

$T =\frac{1}{2 }m.{v}^{2}= \frac{1}{2 }mR^2 {\dot\theta}^{2 }$

Energía potencial poniendo el nivel cero de energía potencial en el punto de suspensión del hilo que sujeta la bola:

$U =-mgRcos \theta$

$L = T-U = \frac{1}{2 }mR^2 {\dot\theta}^{2 } + mgRcos \theta$

La acción:

$S = \int L\delta t$

La aplicación ahora del principio de mínima acción te conduce a las ecuacións de Euler-lagrange:

$\frac{d}{dt }\left( \frac{\partial L }{\partial \dot \theta} \right) - \frac{\partial L }{\partial \theta }=0$

(NOTA: en esta ecuación la primera derivada parcial, que no se ve bien, es respecto a $\dot \theta$. La segunda es respecto a $\theta$

Solo tienes que derivar de acuerdo con la ecuación anterior y tienes la ecuación del movimiento que tendrá que ser idéntica a la que hubieras obtenido por aplicación de la dinámica de Newton

Bo ano

[leo_ro]

Re: Distancia recorrida según el principio de mínima acción.

Lo que obtengo es:

$\dst \frac{\partial L}{\partial (\frac{d\theta}{ dt})} = m{R}^{2} \frac{d\theta }{dt }$

$\dst \frac{\mathrm{d } }{\mathrm{d t} } ( m{R}^{2} \frac{d\theta }{dt }) = m{R}^{2} \frac{{d}^{2}\theta }{{dt}^{2} }$

$\dst \frac{\partial L}{\partial \theta}= m{R}^{2} \frac{\mathrm{d \theta} }{\mathrm{d t} }\frac{\mathrm{{d}^{2}\theta} }{\mathrm{{dt}^{2}} }-mgRsen(\theta)$

Entonces la equación del movimiento me quedaría

$\dst m{R}^{2} \frac{{d}^{2}\theta }{{dt}^{2} } - m{R}^{2} \frac{\mathrm{d \theta} }{\mathrm{d t} }\frac{\mathrm{{d}^{2}\theta} }{\mathrm{{dt}^{2}} }+mgRsen(\theta)=0$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y según las leyes de newton la ecuación del péndulo simple es:

$\dst R\frac{\mathrm{{d}^{2}\theta} }{\mathrm{{dt}^{2}} }+gsen(\theta)$

[oscarmuinhos]

Re: Distancia recorrida según el principio de mínima acción.

Lo que obtengo es:

$\dst \frac{\partial L}{\partial \theta}= m{R}^{2} \frac{\mathrm{d \theta} }{\mathrm{d t} }\frac{\mathrm{{d}^{2}\theta} }{\mathrm{{dt}^{2}} }-mgRsen(\theta)$

Esta derivación está mal hecha. Se trata de una derivada parcial respecto a la variable $\theta$, por lo tanto la $\dot \theta$ no tienes que derivarla.

$\dst \frac{\partial L}{\partial \theta}= -mgRsen(\theta)$

Y la ecuación que te queda será:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Breogan]

Re: Distancia recorrida según el principio de mínima acción.

Hola:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Disculpa oscar pero creo que tenes el signo menos que esta mal, creo que va un mas, el signo menos de la ec. Euler-Lagrange te cambia el signo de la derivada.

Creo !!

Suerte

[oscarmuinhos]

Re: Distancia recorrida según el principio de mínima acción.

EVIDENTEMENTE Breogan!!!!!

Un error al aprovechar lo tipeado anteriormente.
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Corregido error de signo advertido por breogan

gracias de nuevo y disculpas a leo_ro

[Jose D. Escobedo]

Re: Distancia recorrida según el principio de mínima acción.

Sea un péndulo formado por una masa de 1 Kg sujeta por una cuerda inextensible de 1 metro y masa despresiable. El principio de mínima acción establece que la trayectoria que seguirá dicho sistema será tal que minimice la acción.

Si tomo como el instante inicial la posición de desequilibrio cuando al péndulo lo llevo a la altura de 1 metro. Siendo el origen de coordenadas la posición de equilibrio.

Hola, leo_ro
Para poder determinar la trayectoria, necesitas la posicion y la velocidad inicial, asi como la posicion y velocidad final. Es decir, en "phase space" para este problema se esta hablando de seis grados de libertad, tres del espacio $(x,y,z)$ y tres de la velocidad $(\dot x, \dot y, \dot z)$.

Tu descripcion es incompleta. Si la posicion de equilibrio de la masa es $(0,0,0)$, entonces esta masa esta sujeta a este "constraint" $x^2+y^2+(z-R)^2\leqslant R$, tu problema se reduce a cinco grados de libertad cuando dices que la altura a la que mueves la masa es de 1m que se puedo escribir como $z=R=1m\Rightarrow x^2+y^2+(R-R)^2\leqslant R^2$ porque la cuerda es inextensible (no-romplible talvez?), pero es flexible. De esto ultimo puedo tomar cualquier $x_o,y_o$ en particular se puede $x_o=\dst\frac{R}{2 }$ y $y_o=\dst\frac{R}{2 }$, o sea partiendo con las condiciones iniciales $(x_o, y_o, z_o)=\dst (\frac{R}{2 }, \frac{R}{2 }, R)$ y ademas del reposo, entonces $(\dot x_o, \dot y_o, \dot z_o)=(0, 0, 0)$ se puede probar que la trayectoria es una recta (con ayuda del principio de minima accion) bajo estas condiciones iniciales hasta que $\dst \frac{R^2}{4 }+\frac{R^2}{4 }+(z-R)^2=R^2\Rightarrow z=\dst R(1-\frac{\sqrt{2}}{2 })$ y $\dst \frac{{\dot z_f}^2}{2}=gR\frac{\sqrt{2}}{2 }$, es decir trayectoria es una recta bajo estas condiciones de: $\dst (\frac{R}{2 }, \frac{R}{2 }, R)$ y $\vec{v_o}=(0, 0, 0)$ hasta $\dst(\frac{R}{2 }, \frac{R}{2 }, R(1- \frac{\sqrt{2}}{2 })$ con [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .
Saludos

[leo_ro]

Re: Distancia recorrida según el principio de mínima acción.

Tengo una última duda pero en este caso es con respecto a la fuerza generalizada $Q$

$Q= \vec{F}.\delta \vec{r}$

en este caso

$\dst \delta \vec{r}= \frac{\partial (x,y)}{\partial q}dq$

$q=\theta$

y la tranformación esta dada por:

$x= Rcos(\theta)$ , $y = Rsin (\theta)$

$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta}d\theta= -Rsen (\theta) d\theta ; R cos (\theta) d\theta$

$Q = -FRsen (\theta) d\theta ; F R cos (\theta) d\theta = - \vec{F} \times \vec{R} d\theta ; \vec{F} . \vec{R} d\theta= - \tau d\theta ; \vec{F} . \vec{R} d\theta$

En este caso $Q$ tendría que ser un momento pero la primer componente de $Q$ es un torque. La segunda componente es la proyección de $\vec{F}$ sobre $\vec{R}$

[oscarmuinhos]

Re: Distancia recorrida según el principio de mínima acción.

leo_ro
Tengo una última duda pero en este caso es con respecto a la fuerza generalizada



en este caso

Lo que tú escribes aquí no es la expresión de la fuerza generalizada, sino del trabajo.

Lo que se entiende por fuerza generalizada es:

${Q}_{j}=\sum_{i = 1}^k{F}_{i }\frac{\partial\vec{r_i} }{\partial q_j}$

Y para este caso en el que solo hay una coordenada generalizada:

$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta}= \left( -Rsen (\theta) ; \\R cos (\theta) \right)$


y la fuerza generalizada, Q, será:

$F\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta}= \left( -F.Rsen (\theta) ; \\F.R cos (\theta) \right)$

Y en esta expresión de la fuerza generalizada lo que se exige es que $Q.\delta \theta$ tenga dimensiones de trabajo

Animo

Nota: $-F.Rsen (\theta)$ no es un torque. En todo caso será el modulo de un torque. nadamás

[leo_ro]

Re: Distancia recorrida según el principio de mínima acción.

Pero al tener como coordenada generalizada una amplitud angular $\theta$, necesariamente la fuerza generalizada debe ser un torque o momento. En la primera componente tenenemos expresado un torque, pero no en el segundo componente de la fuerza generaliza.

Nota: no es un torque. En todo caso será el modulo de un torque. nadamás

En este caso, el del péndulo simple por lo menos, al tener la magnitud del torque tenemos el torque en sí porque sabemos que la direccións erá perpendicular al plano que contiene F y R

[oscarmuinhos]

Re: Distancia recorrida según el principio de mínima acción.

Lo que te importan son las dimensiones. Y efectivamente tiene dimensiones de un torque. (Fuerza x Radio o fuerza x distancia)

[leo_ro]

Re: Distancia recorrida según el principio de mínima acción.

Dicha ecuación del movimiento del péndulo es exactamente igual a la trayectoria que sigue un satélite sobre un planeta?. Diferenciando que el valor de $\vec{g}$ Dependerá de la altura del satélite con respecto al planeta.

La fuerza aplicada unicamente es la gravitatória, y produce la aceleración centrípeta. Suponiendo que el satélite se mueve en un plano la ecuacion de ligadura es:

${x}^{2}+{y}^{2}={R}^{2}$

$z=0$

$\dst \theta = arctan (\frac{y}{x})$

$\dst L = \frac {1}{2} m {R}^{2}{\frac{\mathrm{d\theta} }{\mathrm{dt} }}^{2} + mghsen(\theta)$





Evidentemente en el movimiento del satélite $\frac{\mathrm{{d}^{2}\theta} }{\mathrm{{dt}^{2}} }=0$

Y llego que la ecuación del movimiento del satélite sería:

$g sen(\theta)=0$

[oscarmuinhos]

Re: Distancia recorrida según el principio de mínima acción.

Dicha ecuación del movimiento del péndulo es exactamente igual a la trayectoria que sigue un satélite sobre un planeta?. Diferenciando que el valor de $\vec{g}$ Dependerá de la altura del satélite con respecto al planeta.

La fuerza aplicada unicamente es la gravitatória, y produce la aceleración centrípeta. Suponiendo que el satélite se mueve en un plano la ecuacion de ligadura es:

${x}^{2}+{y}^{2}={R}^{2}$

$z=0$

$\dst \theta = arctan (\frac{y}{x})$

$\dst L = \frac {1}{2} m {R}^{2}{\frac{\mathrm{d\theta} }{\mathrm{dt} }}^{2} + mghsen(\theta)$





Evidentemente en el movimiento del satélite $\frac{\mathrm{{d}^{2}\theta} }{\mathrm{{dt}^{2}} }=0$

Y llego que la ecuación del movimiento del satélite sería:

$g sen(\theta)=0$

Amigo leo_ro,
no puedes hacer este tipo de razonamiento para el caso de un planeta. Puede utilizarse el Lagrangiano y el método de Lagrange, pero hay que escribir la expresión correcta del Lagrangiano

El péndulo está obligado (por la tensión de la cuerda que lo sujeta al punto de suspensión) a seguir una trayectoria circular, el planeta no! Por lo tanto, ya no podremos escribir $v=R \dot \theta$. En el caso de los planetas la velocidad está relacionada con el radio de la trayectoria a través del principio de la conservación del momento angular o (visto de otra manera) por la fuerza gravitatoria que tendrá de ser igual a la masa del planeta por la aceleración centrípeta.
Por otra parte, tampoco nos vale la expresión m.g.h para la energía potencial: en el caso de un planeta la energía potencial vendrá dada por $E_p = -G\frac{M.m}{d}$ donde d es la distancia al centro de atracción gravitatoria.

Eso no impide que, si de antemano sabes que la trayectoria del planeta es circular, te sirva el método para deducir que la aceleración angular del planeta es nula, que su velocidad angular es constante y que el valor de la velocidad orbital también será constante.