Divulgación Estructura del Principio de Mínima Acción

[Kinetico]

Consideremos la siguiente ecuación tautológica (ecuación que no se puede refutar empíricamente) para una sola partícula:

$\frac{d(\mathbf{v} \cdot \delta \mathbf{r})}{dt} = \delta \frac{1}{2} \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{a} \cdot \delta \mathbf{r}$

Ahora integrando con respecto al tiempo desde $t_1$ a $t_2$, resulta:

$\int_{t_1}^{t_2} \left[ \frac{d(\mathbf{v} \cdot \delta \mathbf{r})}{dt} \right] \hspace{+0.12em} dt = \int_{t_1}^{t_2} \left[ \delta \frac{1}{2} \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{a} \cdot \delta \mathbf{r} \right] \hspace{+0.12em} dt$

El lado izquierdo de la ecuación es igual a cero, por lo tanto, se obtiene:

$0 = \int_{t_1}^{t_2} \left[ \delta \frac{1}{2} \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{a} \cdot \delta \mathbf{r} \right] \hspace{+0.12em} dt$

Esta última ecuación aún es tautológica y sería la ecuación, la estructura o la base matemática del principio de mínima acción en mecánica clásica para una sola partícula.

Ahora si multiplicamos por la masa m de la partícula que es un invariante nos da la siguiente ecuación que también es tautológica:

$0 = \int_{t_1}^{t_2} \left[ \delta \frac{1}{2} \hspace{+0.12em} m \hspace{+0.12em} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) + m \hspace{+0.12em} \mathbf{a} \cdot \delta \mathbf{r} \right] \hspace{+0.12em} dt$

Pero como en todo sistema inercial $\mathbf{a}=\mathbf{F}/m$ (así como en todo sistema no inercial considerando a las fuerzas ficticias) entonces reemplazando nos da la siguiente ecuación que ya es empírica:

$0 = \int_{t_1}^{t_2} \left[ \delta \frac{1}{2} \hspace{+0.12em} m \hspace{+0.12em} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) + \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r} \right] \hspace{+0.12em} dt$

Si sobre la partícula sólo actúan fuerzas conservativas entonces $\delta V = - \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r}$ y como $T = \frac{1}{2} m \hspace{+0.12em} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{v})$ reemplazando queda:

$0 = \int_{t_1}^{t_2} \left[ \hspace{+0.12em} \delta T - \delta V \hspace{+0.12em} \right] \hspace{+0.12em} dt$

Esto es:

$0 = \delta \int_{t_1}^{t_2} \left[ \hspace{+0.12em} T - V \hspace{+0.12em} \right] \hspace{+0.12em} dt$

O bien:

$\delta \int_{t_1}^{t_2} \left[ \hspace{+0.12em} T - V \hspace{+0.12em} \right] \hspace{+0.12em} dt = 0$

Y como $L= T - V$, finalmente se obtiene:

$\delta \int_{t_1}^{t_2} L \hspace{+0.24em} dt = 0$

[Castelao]

Re: Estructura del Principio de Mínima Acción

Tengo dos dudas

- ¿De dónde obtienes la primera ecuación? (Parece la regla del producto pero no sé de donde sale el 1/2)
- ¿Por qué la primera integral de la izquierda vale 0?

[alexpglez]

Re: Estructura del Principio de Mínima Acción

Yo he visto el proceso inverso, que parece más sencillo..
Sobre la primera pregunta es por qué: $v_i \delta v_i=\delta (\frac{1}{2} v_i ^2)$ Y claro, la regla del producto para la derivada.
Sobre lo segundo, recuerda que la definición de variación se anula en los extremos, es decir $\delta r_i(t_2)=\delta r_i(t_1)=0$
Pero por si acaso que alguien me confirme.

Un saludo.

[Kinetico]

Re: Estructura del Principio de Mínima Acción

Castelao, es como dice alexpglez, o al menos es así también como lo aprendí yo.

alexpglez: "Yo he visto el proceso inverso, que parece más sencillo.."

Hay un proceso más sencillo? Me gustaría conocer ese proceso, ya que para mí la primer ecuación (auxiliar) de arriba, es el corazón del principio de mínima acción. Para mí, sin recurrir a esta ecuación (auxiliar) sería imposible formular el principio de mínima acción. Pero es muy posible que yo esté equivocado.

Saludos.

[alexpglez]

Re: Estructura del Principio de Mínima Acción

Hay un proceso más sencillo? Me gustaría conocer ese proceso, ya que para mí la primer ecuación (auxiliar) de arriba, es el corazón del principio de mínima acción. Para mí, sin recurrir a esta ecuación (auxiliar) sería imposible formular el principio de mínima acción. Pero es muy posible que yo esté equivocado.

Una vez hecha la demostración de las ecuaciones de euler-lagrange a partir de la ecuación de Newton (hice por el club demostraciones una, bueno, mejor dicho la copié, dejo el enlace por si alguien quiere echarle un vistazo, http://forum.lawebdefisica.com/group...287&do=discuss), basta sacar las ecuaciones para un funcional, es decir sacar las ecuaciones para L:

$$\frac{\delta S}{\delta q_i(t)}=0 \;\;\;\;\,\;\;\;\; S=\int_{t_0}^{t_1} L(q_i(t),\dot q_i(t),t) dt$$

Y ver que son idénticas a las ecuaciones de euler-lagrange obtenidas a partir de la ecuación de Newton.
Quizá me estoy equivocando, igual esto es más complicado que lo que has escrito, pero no presupone una ecuación (definición) de partida.

Un saludo

[Kinetico]

Re: Estructura del Principio de Mínima Acción

Gracias, alexpglez por el link, me viene como anillo al dedo.

Yo creo que aunque sea indirectamente es siempre necesario recurrir a la primer ecuación (auxiliar) de arriba para poder formular o hallar el principio de mínima acción:


$\frac{d}{dt}(\bf{v} \cdot \delta \bf{r}) = \ldots$


$\frac{d}{dt}(m \, \bf{v} \cdot \delta \bf{r}) = \ldots$

$\sum_i \frac{d}{dt}(m_i \, {\bf{v}}_i \cdot \delta {\bf{r}}_i) = \ldots$

$\sum_{i,j} \frac{d}{dt}(m_i \, {\bf{v}}_i \cdot \frac{\partial {\bf{r}}_i}{\partial q_j} \; \delta q_j) = \ldots$


$\sum_{i,j} \frac{d}{dt}(m_i \, {\bf{v}}_i \cdot \frac{\partial {\bf{r}}_i}{\partial q_j} \; \delta q_j) = \sum_{i,j} m_i \, {\bf{a}}_i \cdot \frac{\partial {\bf{r}}_i}{\partial q_j} \; \delta q_j + \sum_{i,j} m_i \, {\bf{v}}_i \cdot \frac{d}{dt}(\frac{\partial {\bf{r}}_i}{\partial q_j} \; \delta q_j)$

$\sum_{i,j} \frac{d}{dt}(m_i \, {\bf{v}}_i \cdot \frac{\partial {\bf{r}}_i}{\partial q_j} \; \delta q_j) - \sum_{i,j} m_i \, {\bf{v}}_i \cdot \frac{d}{dt}(\frac{\partial {\bf{r}}_i}{\partial q_j} \; \delta q_j) = \sum_{i,j} m_i \, {\bf{a}}_i \cdot \frac{\partial {\bf{r}}_i}{\partial q_j} \; \delta q_j$

$\sum_{i,j} \big [ \frac{d}{dt}(m_i \, {\bf{v}}_i \cdot \frac{\partial {\bf{r}}_i}{\partial q_j}) - m_i \, {\bf{v}}_i \cdot \frac{d}{dt}(\frac{\partial {\bf{r}}_i}{\partial q_j}) \big ] \, \delta q_j = \sum_{i,j} m_i \, {\bf{a}}_i \cdot \frac{\partial {\bf{r}}_i}{\partial q_j} \; \delta q_j$


$\sum_{i,j} \big [ \frac{d}{dt}(m_i \, {\bf{v}}_i \cdot \frac{\partial {\bf{r}}_i}{\partial q_j}) - m_i \, {\bf{v}}_i \cdot \frac{d}{dt}(\frac{\partial {\bf{r}}_i}{\partial q_j}) \big ] \, \delta q_j = \sum_{i,j} {\bf{F}}_i \cdot \frac{\partial {\bf{r}}_i}{\partial q_j} \; \delta q_j$


Es posible que en el desarrollo de arriba algunas cosas estén mal y lo que falta aún por hacer está en el link que copiaste.

Saludos.