1r ciclo ecuacion de movimiento, primera integral

[kyubirr]

Hola, tengo un Lagrangiano que intento calcular la ecuacion de movimiento por la ecuacion de Euler y mediante una primera integral y obtengo cosas distintas y para asegurarme que no era fallo mio de derivar use el ordenador y esta bien, me gustaria saber que no estoy considerando o porque no puedo usar la primera integral
El Lagrangiano es:
$L=\frac{1}{2}m({{v}_{r}}^{2}+{r}^{2}{{v}_{ \theta}}^{ 2})-C\theta$ donde C es una constante y estoy usando coord cilindricas
Para calcular la ecuacion de movimiento del angulo
Si uso la ecuacion de Euler-Lagrange y derivo con respecto al angulo y despues le resto la derivada temporal total de la derivada de la velocidad del angulo, obtengo:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
donde v es la primera derivada con respecto al tiempo (velocidad) y a es la aceleracion (derivada temporal segunda)
Si uso la segunda forma de las ecuaciones de Euler para aprovechar el hecho de que el Lagrangiano no depende explicitamente del tiempo, es decir,$L-{v}_{ \theta}\frac{\partial L}{\partial {v}_{ \theta}}= const$ y luego derivo con respecto al tiempo toda la ecuacion deberia obtener lo mismo que antes, pero me cambie en el 2 que marque antes en rojo: $m{r}^{ 2}{a}_{ \theta}+mr{v}_{ r}{v}_{\theta }+C=0$
No se que he hecho o considerado mal, agradeceria cualquier consejo
Muchas gracias
Un saludo

[oscarmuinhos]

Re: ecuacion de movimiento, primera integral

Hola, tengo un Lagrangiano que intento calcular la ecuacion de movimiento por la ecuacion de Euler y mediante una primera integral y obtengo cosas distintas y para asegurarme que no era fallo mio de derivar use el ordenador y esta bien, me gustaria saber que no estoy considerando o porque no puedo usar la primera integral
El Lagrangiano es:
$L=\frac{1}{2}m({{v}_{r}}^{2}+{r}^{2}{{v}_{ \theta}}^{ 2})-C\theta$ donde C es una constante y estoy usando coord cilindricas
Para calcular la ecuacion de movimiento del angulo
Si uso la ecuacion de Euler-Lagrange y derivo con respecto al angulo y despues le resto la derivada temporal total de la derivada de la velocidad del angulo, obtengo:
$m{r}^{ 2}{a}_{ \theta}+2 mr{v}_{ r}{v}_{\theta }+C=0$
donde v es la primera derivada con respecto al tiempo (velocidad) y a es la aceleracion (derivada temporal segunda)
Si uso la segunda forma de las ecuaciones de Euler para aprovechar el hecho de que el Lagrangiano no depende explicitamente del tiempo, es decir,$L-{v}_{ \theta}\frac{\partial L}{\partial {v}_{ \theta}}= const$ y luego derivo con respecto al tiempo toda la ecuacion deberia obtener lo mismo que antes, pero me cambie en el 2 que marque antes en rojo: $m{r}^{ 2}{a}_{ \theta}+mr{v}_{ r}{v}_{\theta }+C=0$
No se que he hecho o considerado mal, agradeceria cualquier consejo
Muchas gracias
Un saludo

Entiendo que la "constante del tiempo" tendrá que ser, no
$\dst L - v_\theta. \frac{\partial L}{\partial v_\theta}$. o utilizando la notación punto (.) y $\rho$ en lugar de r (por costumbre mía, no porque no pueda utilizarse la notación que utilizas tú), $\dst L - \dot \theta . \frac{\partial L}{\partial \dot \theta}$,

sino

$\dst L - \dot \rho \frac{\partial L}{\partial \dot \rho} - \dot \theta . \frac{\partial L}{\partial \dot \theta} = H$

o en tu notación:

$\dst L - v_r \frac{\partial L}{\partial v_r} - v_\theta . \frac{\partial L}{\partial v_\theta} = H$

Derivando esta ecuación respecto al tiempo (que es el Hamiltoniano) y teniendo en cuenta la segunda ecuación de Euler (la correspondiente a la variable $\rho$) obtienes la misma ecuación.

[kyubirr]

Re: ecuacion de movimiento, primera integral

Muchas gracias, hice el calculo de la segunda manera a modo de comprobacion y al final me ha servido para recordar muchas cosas que habia pasado por alto
PD: lo de la notacion yo tambien uso la misma pero no encontraba como ponerla en LaTex
Un saludo