Primaria pendulo cicloidal

[alejandrito29]

Hola, estuve leyendo el hilo

http://forum.lawebdefisica.com/threa...dulo-cicloidal



donde luego de aplicar lagrangiano llegamos a

haciendo $u=A\cos (\phi /2)$

llegamos a $\ddot{u}+\omega^2u=0$, en consecuencia $u=A\cos(\omega t)$

el asunto es que yo deduzco que $\phi /2= \omega t$, pero mi profesor me dice que eso no tiene sentido, ya que si $\phi$ tiene esa forma, entonces $x=a(\phi - \sin \phi )$ se dirigiría siempre hacia la derecha y no habría oscilación,

¿quien tiene razón, mi profesor o yo?.

Saludos.

[[Beto]]

Re: pendulo cicloidal

Suponiendo que hayas encontrado correctamente la relación entre $\phi$ y $\omega$, veamos que si $a=1m \text{ y }g=9.8m/s^2$ se tendría que $\omega=\sqrt{\frac{g}{a}}t\approx3.13t$ y por tanto $x=3.13t-\sin(3.13t)$, gráficamente eso se vería de la siguiente manera:

Como puedes ver tu haz cometido un error y tu profesor no te ha dado las suficientes pistas para que te percates de ello ... te sugiero que pienses en el dominio que tiene la función, ya que una cicloide está definida en todos los reales, pero el movimiento que describe el péndulo no, únicamente toma un intervalo y repite ese intervalo periódicamente.

Para que determines el intervalo de periodicidad usa el periodo que tiene el movimiento oscilatorio.

[alejandrito29]

Re: pendulo cicloidal

Suponiendo que hayas encontrado correctamente la relación entre $\phi$ y $\omega$, veamos que si $a=1m \text{ y }g=9.8m/s^2$ se tendría que $\omega=\sqrt{\frac{g}{a}}t\approx3.13t$ y por tanto $x=3.13t-\sin(3.13t)$, gráficamente eso se vería de la siguiente manera:

[ATTACH=CONFIG]8416[/ATTACH]

.

$x(t)$ NO es oscilatorio, y no tiene por que serlo.

mira el siguiente link

http://www.uam.es/personal_pdi/cienc...6/huygens2.pdf

donde dicen:

"qué es lo que oscilará armónicamente en este caso. No es ahora φ (ni x, ni y)simplemente, sino la longitud recorrida por el péndulo al seguir la cicloide. Es
decir, la longitud de arco, que viene definida para toda curva en paramétricas
como"

$s = \int d\phi \sqrt{ (\frac{dx}{d\phi})^2+\frac{dy}{d\phi})^2}= 4a\cos(\phi /2)$, donde $\phi= \omega t$

[[Beto]]

Re: pendulo cicloidal

Claro, yo no he dicho que x tenga que describir un MAS, es evidente que no, pero si tiene que describir un movimiento oscilatorio, ya que no puede alejarse indefinidamente de la posición de equilibrio, habrá un punto a partir del cual regrese por efecto de la gravedad, se puede ver claramente eso si te imaginas o haces un péndulo de este tipo.

[alejandrito29]

Re: pendulo cicloidal

$u=A \cos (\theta /2) = A \cos(\omega t) \to \frac{\theta}{2} = \cos^{-1} \cos( \omega t ) = \omega t$, donde $\cos^{-1} \cos( \omega t )$ sí es oscilatorio, ¿que opinan?, por lo menos coincide con lo que dice un libro (página 31)

http://books.google.cl/books?id=E64i...angian&f=false

y si la solución no es la que digo, ¿que forma tiene phi?

[[Beto]]

Re: pendulo cicloidal

Hola, recordemos primero que una cicloide en forma parametrica, se puede escribir como:

$$<br /> \left\{\begin{aligned}<br /> x=&a(\phi-\sin \phi)\\<br /> y=&a(\cos\phi+1)<br /> \end{aligned}\right.<br />$$

y la gráfica corresponde a

pero el movimiento del péndulo únicamente se realiza en el intervalo $[0,2a\pi]$, es decir

$$\phi\in[0,2a\pi]$$

.

Luego la solución que se obtuvo para $\ddot u+\omega^2 u=0$, como bien dices tiene que tener la forma $u=A\sin(\omega t)$, donde $\omega=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{a}}$, entonces si $u=\sin\frac{\phi}{2}$, por comparación $\phi=2\omega t\Rightarrow \phi=\sqrt{\frac{g}{a}}t$, pero tomando en cuenta (1) esa solución solo vale para

$$t\in\left[0,\frac{2a\pi }{\omega}\right]$$

en ese caso

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
y eso corresponde a la mitad del periodo del péndulo cicloidal, es decir si

$$t\in\left[\frac{2a\pi }{\omega},\frac{4a\pi }{\omega}\right]$$

para que la partícula regrese por el mismo lugar:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
y de ese modo completa un periodo, luego el movimiento se repetirá de esa forma indefinidamente. Y si graficas eso considerando $a=1m$ y $g=9.8m/s^2$ tienes algo mas o menos así

Como te dije tocaba analizar el dominio de la solución, puedes notar en $x$ se realiza un movimiento oscilatorio, pero no es un MAS ... en resumen la solución es la que dices pero solo en cierta parte del intervalo de movimiento.

[alejandrito29]

Re: pendulo cicloidal

pero el movimiento del péndulo únicamente se realiza en el intervalo $[0,2a\pi]$, es decir

$$\phi\in[0,2a\pi]$$

.

Primero que todo muchas gracias por tu ayuda.

¿por que

$$\phi\in[0,2a\pi]$$

, si $\phi$ es un ángulo, y $2 \pi a$ tiene dimensiones de perímetro.

[[Beto]]

Re: pendulo cicloidal

Primero que todo muchas gracias por tu ayuda.

¿por que

$$\phi\in[0,2a\pi]$$

, si $\phi$ es un ángulo, y $2 \pi a$ tiene dimensiones de perímetro.

Eso es un error mio $\phi\in[0,2\pi]$ y la grafica superior corresponde a una grafica en el espacio de coordenadas, es por eso que la ecuación (1) debe de decir $x\in[0,2a\pi]$ ... no me percaté de ese detalle ya que como consideré que $a=1 m$ todo quedaba aparentemente bien ... nota que a partir de ahí el intervalo del tiempo tiene a esa $a$ de demás.

Gracias por percatarte de ese detalle.