1r ciclo Hallar función generatriz de una transformación canónica

[Diferencial]

Hola a todos, el enunciado del problema es el siguiente:

"Asumiendo que Q y P satisfacen los corchetes fundamentales de Poisson {Q,P}=1, encontrar para qué valores de $\alpha$ y $\beta$ las variables q y p, definidas por

$q \equiv \beta \sqrt{Q} e^{-P/2}$
$p \equiv \alpha \sqrt{Q} e^{P/2}$

también los satisfacen. Encontrar la función generatriz $F_2(q,P)$ asociada a esta transformación".

Bueno, la primera parte la resuelvo despejando $Q(q,p)$ y $P(q,p)$ y sustituyendo en el corchete fundamental de Poisson, de forma que obtengo la relación:

$\alpha \beta = 2$

La segunda parte del problema se resuelve utilizando las relaciones dadas por la transformación canónica de tipo $F_2(q,P)$:

$p=\dfrac{\partial F_2}{\partial q}$

$Q = \dfrac{\partial F_2}{\partial P}$

No sé muy bien como abordarla, puesto que me estoy haciendo un lío a la hora de integrar con tanta variable.

Gracias!

[Marce_]

Re: Hallar función generatriz de una transformación canónica

Hola,


Si no me metí la pata en los despejes, las expresiones de Q y p son:

$$Q(p,q)=\frac{qp}{\alpha \beta} \quad , \quad p(P,q)=\dfrac{\ee^{P/2} \alpha q}{\beta}$$

Usando primero la segunda condición (es indistinto y a gusto del consumidor):

$$\frac{qp}{\alpha \beta} = \frac{\partial F_{2}}{\partial P}$$

$$F_{2}(q,P) = \int \left(\frac{qp}{\alpha \beta}\right) \dd P = \frac{qp}{\alpha \beta} P + h(q)$$

Ahora derivo (1) respecto de "q" y la igualo a "p":

$$\frac{\partial F_{2}}{\partial q} = \frac{pP}{\alpha \beta} + h'(q) = \dfrac{\ee^{P/2} \alpha q}{\beta}$$

$$\Rightarrow h'(q) = \dfrac{\ee^{P/2} \alpha q}{\beta} - \frac{pP}{\alpha \beta}$$

$$\Rightarrow \boxed {h(q) = \dfrac{\ee^{P/2} \alpha}{\beta} \frac{q^{2}}{2} - \frac{pP}{\alpha \beta} q + C}$$

Por lo tanto:

$$F_{2}(q,P) = \cancel{\frac{qp}{\alpha \beta} P} + \dfrac{\ee^{P/2} \alpha}{\beta} \frac{q^{2}}{2} - \cancel{\frac{pP}{\alpha \beta} q} + C = \boxed{\dfrac{\ee^{P/2} \alpha}{\beta} \frac{q^{2}}{2} + C}$$

Un abrazo.-

[Diferencial]

Re: Hallar función generatriz de una transformación canónica

Perfecto, muchas gracias Marce_.

Si me permites la corrección, despejando la "p" yo obtengo

$p=\dfrac{\alpha}{\beta} q e^P$

por lo que el resultado final sería

$F_2(q,P)=\dfrac{1}{2}\dfrac{\alpha}{\beta}q^2 e^P + C$ .

Corrígeme si me equivoco, un saludo.