1r ciclo Problema de trayectoria en polares

[Paul Dirac]

En un libro de ecuaciones diferenciales se plantea el siguiente problema de mecánica:
Cuatro mosquitos se encuentran en los extremos de una mesa y en t=0 comienzan a moverse cada uno en la dirección del que tiene a su derecha. Definiendo el eje polar pasando por dos de los vértices de la mesa y el radio vector por dos de los vértices del cuadrado que forman los mosquito en un tiempo cualquiera, $\theta$ el ángulo entre el eje polar y el radio vector y $\Psi$ el ángulo entre el radio vector y la trayectoria de los mosquitos. Calcular la ecuación de la trayectoria de los mosquitos hasta encontrarse en el centro de la mesa.
La ecuación diferencial que plantea el autor es:

$r\frac{d\theta}{dr }}=\tan(\frac{3\pi}{4 })$

¿Alguna idea de qué ha hecho?

Entiendo que ha tomado $\tan\Psi=\frac{dS}{dr }$, pero no estoy seguro.

Gracias!

[carroza]

Re: Problema de trayectoria en polares

Imagina que inicialmente, pones tus ejes cartesianos de manera que las cuaro moscas están en las coordenadas (x,y), dadas por:

(r,0), (0,r), (-r,0) y (0, -r).

La mosca que está en (r,0) se mueve en dirección a la mosca en (0,r), o sea, en una dirección de 135 grados, o $3 \pi/4$.

Por tanto, para ella, $dy = dx \tan(3 \pi/4)$. Ahora, pasas a polares. $dx= dr$. $dy = r d \theta$. Et voila.

Para las demás moscas, las ecuación es la misma, pero el punto de partida (\theta=0 para la mosca en (r,0)) varía en cada caso.

[felmon38]

Re: Problema de trayectoria en polares

Carroza, las proyecciones de la velocidad deberían ser respecto de los ejes originarios, p.e. coincidentes con dos lados de la mesa, por lo que las proyecciones que, astutamente, has calculado, al ser respecto de otros ejes, creo que las debías proyectar sobre los de la mesa.
Saludos

[carroza]

Re: Problema de trayectoria en polares

Hola.

Las coordenadas cartesianas solamente nos valen para mostrar claramente que el vector $d \vec r$ forma un ángulo de 135 grados con el vector $\vec r$. A partir de ahi, usa coordenadas polares y sale la expresión.

Saludos

[felmon38]

Re: Problema de trayectoria en polares

Hola Carroza, la trayectoria que hay que calcular es respecto del sistema de referencia definido por la mesa, o sea que sus coordenadas hay que hallarlas respecto de unos ejes cartesianos fijos a la mesa. En los ejes que has elegido, la relación entre el vector posición y su diferencial, que has encontrado, no es general, no es válida en cualquier instante. Solo tienes que dibujar esa figura en otro instante, sin haber movido los ejes, para comprobarlo.

[carroza]

Re: Problema de trayectoria en polares

Hola.

En cualquier instante, las posiciones en polares de las moscas son $(r, \theta), (r, \theta+\pi/2), (r, \theta+\pi), (r, \theta+ 3 \pi/2)$, con respecto a un sistema fijo en la mesa. Obviamente, r y theta varía con el tiempo. Pero nada te impide, en un instante dado, tomar el eje x en la direccion de la primera mosca y el eje y en la dirección de la segunda. A partir de aquí, deduces que $\vec r$ y $d \vec r$ forman 135 grados. Vuelves a polares, y ya tienes tu ecuación.

Saludos

[felmon38]

Re: Problema de trayectoria en polares

Carroza, me rindo, no lo sé explicar mejor.
Paul:a mí me ha salido la misma solución pero con el origen en el centro de la mesa . En el croquis están dibujadas dos posiciones infinitamente próximas de los cuatro mosquitos ( supongo que la mesa forma un cuadrado, por lo que con las condiciones del problema, los cuatro insectos están en los vértices de un cuadrado que irá deformándose). Siendo OA=$\rho$ y OC=$\rho-d\rho$ y el diferencial del ángulo polar d$\varphi$, por ser el ángulo OAC 45º: d$\rho$=-d$\varphi$.$\rho$.
Saludos a ambos.