Formulación Hamiltoniana de la Mecánica Clásica

[[Beto]]

Re: Formulación Hamiltoniana de la Mecánica Clásica

Vaya, parece que no ha tenido muy buena acogida...

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Re: Formulación Hamiltoniana de la Mecánica Clásica

Vaya, parece que no ha tenido muy buena acogida...

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[FONT=Times New Roman]FORMULACIÓN HAMILTONIANA[/FONT]

[FONT=Times New Roman]- Introducción[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Quiero hacer una pequeña recopilación de los resultados más importantes de la formulación Hamiltoniana que yo he estudiado presentando mi manera de ver las cosas, ya que además no he visto mucho contenido sobre este tema en el foro. [/FONT]

[FONT=Times New Roman]- Teorema de Donkin[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Sea $X(x_1,x_2,...,x_n)$ una función dada, el hessiano de la cual es distinto de 0:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$det(\frac{\partial^2X}{\partial x_i\partial x_k})^{n}_{i,k=1} \neq 0$ (1)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]y supongamos que existe una transformación de coordenadas generada por la función $X(x_1,x_2,...,x_n):$[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$y_i=\frac{\partial X}{\partial x_i}$ $(i=1,...,n)$ (2)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Entonces existe una transformación de coordenadas inversa a la transformación (2) la cual es asimismo generada por una función $Y(y_1,...,y_n):$[/FONT]

[FONT=Times New Roman][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (3)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Además, las funciones generadoras de las trasnformaciones inversa y directa se hallan relacionadas entre sí por medio de la igualdad:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$Y = \sum^{n}_{i=1} x_i y_i - X$ (4)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Si en la función $X$ figuran los parámetros $\alpha_1,...,\alpha_n$(es decir $X=X(x_1,...,x_n;\alpha_1,...,\alpha_n)$) entonces en la función Y figurarán los mismos parámetros $Y=Y(y_1,...,y_n;\alpha_1,...,\alpha_n)$cumpliéndose además:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\frac{\partial Y}{\partial \alpha_j}=-\frac{\partial X}{\partial \alpha_j}$ $(j = 1,...,m)$ (5)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Vamos a utilizar el teorema de Donkin para pasar de las variables de Lagrange $(q\in M, M configuration manifold)$ a las variables de Hamilton ($(q,p)\in T*M, T*M phase manifold$); se hacen las siguientes sustituciones:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$X \longmapsto L$[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$(x_1,...,x_n) \longmapsto (\dot{q_1},...,\dot{q_n})$[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$(y_1,...,y_n) \longmapsto (p_1,...,q_n)$[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$Y \longmapsto H$[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$H = \sum^{n}_{i=1} p_i \widehat{\dot{q_i}} - \widehat{L}$ (6)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\dot{q_i}=\frac{\partial H}{\partial p_i}$ (7)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\frac{\partial L}{\partial q_i}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$ $(i=1,...,n)$ (8)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\frac{\partial L}{\partial t}=-\frac{\partial H}{\partial t}$ (9) [/FONT]

[FONT=Times New Roman]Las ecuaciones de Lagrange pueden ser escritas (cuando las fuerzas generalizadas son potenciales) en la forma:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\frac{dp_i}{dt}=\frac{\partial L}{\partial q_i}$ (10)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Estas ecuaciones junto con las (8) nos llevan a las ecuaciones canónicas de Hamilton:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\frac{dq_i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_i}$ $\frac{dp_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$ $(i=1,...,n)$(11)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]De las ecuaciones (11) se deduce:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\frac{dH}{dt}=\frac{\partial H}{\partial q_i} \frac{dq_i}{dt}+\frac{\partial H}{\partial p_i} \frac{dp_i}{dt}+\frac{\partial H}{\partial t}= \frac{\partial H}{\partial t}$ (12)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Un sistema se denomina conservativo generalizado si $H$ no depende explícitamente de t:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$H=H(q_i,p_i) \longmapsto H=const=h$ (13)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Donde h es la integral de Jacobi-Painlebe.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]H, la energía total generalizada, se designa con una letra diferente a la integral de Jacobi-Painlebé, ya que a pesar de ser "iguales en valor"' dependen de variables diferentes.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Examinemos como ejemplo un sistema natural. Es entonces L una función cuadrática:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$L=L_2+L_1+L_0$ (14)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Introduciendo en H y utilizando el teorema de Euler de las funciones homogéneas se deduce:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$H=L_2-L_0$ (15)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Supongamos asimismo que $T=T_2+T_1+T_0$. Si el potencial de las fuerzas es bien un potencial ordinario $V=V(t,q_i),$o bien un potencial generalizado, entonces$L_2=T_2, L_0=T_0-V$ y por tanto:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$H=T_2-T_0+V$ (16)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Si el sistema es esclerónomo, entonces $T=T_2 y T_0=0$ y por tanto:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$H=T+V$ (17)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]En un sistema natural y esclerónomo la función de Hamilton H es la energía total expresada en función de las variables de Hamilton, del phase manifold.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]-Notación $\xi$ en $T*M$[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Una ventaja de la formulación Hamiltoniana es la igualdad en la que se trata a las variables q,p. Esto permite que se puedan unificar en un conjunto de 2n variables que llamaremos $\xi_j$ con$j=1,...,2n$. Esto se consigue definiendo:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\xi_j = q_j$ $j\in(1,...,n)$ (18)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\xi_j = p_{j-n}$ [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] } (19)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Y las ecuaciones de Hamilton pueden entonces escribirse de una forma muy compacta y elegante:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\xi_j=\omega_jk\frac{\partial H}{\partial \xi_k}$ (20)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]O equivalentemente:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\omega_{l,j} \dot{\xi}= \partial_l H$ (21)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]La ecuación (21) da pie a la siguiente matriz $\Omega$(matriz simpléctica $2nx2n$):[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\Omega =$[/FONT][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [FONT=Times New Roman] (22)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]- Transformaciones Canónicas[/FONT]

[FONT=Times New Roman]En la formulación Lagrangiana se consideran sólo transformaciones en $\mathbb{Q}$ mientras que la formulación Hamiltoniana permite transformaciones en $T*\mathbb{Q},$que pueden mezclar las $q´s$ y las $p´s$, en concordancia con el tratamiento en pie de igualdad que de estas variables hace la formulación Hamiltoniana. [/FONT]

[FONT=Times New Roman]Se considera pues la siguiente transformación general de coordenadas (que para nuestros propósitos debe considerarse invertible):[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$Q_i=Q_i(q,p,t)$ $Q \in C^2$[/FONT]
[FONT=Times New Roman]$P_i=P_i(q,p,t)$ $P \in C^2$ (23)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Por hipótesis $q$ y $p$ son variables canónicas, es decir, su evolución en el tiempo viene dada por las ecuaciones canónicas de Hamilton (20) (en notación simpléctica).[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Sin embargo no podemos admitir cualquier transformación que cumpla los requisitos antes mencionados (22), sino que se buscan aquellas para las que $Q$ y $P$ sean también variables canónicas, es decir, su evolución en el tiempo esté dada por un nuevo hamiltoniano, al que llamaremos K. Matemáticamente estamos exigiendo que exista un $K\in F(T*\mathbb{Q})$ tal que:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\dot{Q_i} = \frac{\partial K}{\partial P_i} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \dot{P_i} = -\frac{\partial K}{\partial Q_i}$[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Si esta condición se cumple, las transformaciones dadas por $Q$ y $P$ se llaman transformaciones canónicas extensas.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Voy a hacer unos apuntes necesarios para poder seguir:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]La condición necesaria y suficiente para que una función $F$ anule idénticamente las ecuaciones de Lagrange es que:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$F(q,\dot{q},t)=\frac{d \Omega(q_1,…,q_n,t)}{dt} = \frac{\Omega(q,t)}{dt}= F(q,\dot{q},t)$ (24)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Y en este caso entonces, para todo $q$ y $\dot{q}$:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\frac{d}{dt} \frac{\partial F}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial F}{\partial q}=0$ (25)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Se obtienen las mismas ecuaciones de movimiento a partir de $L$ que a partir de:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\lambda L + \frac{\Omega(q,t)}{dt} = L*$ (26)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Es equivalente a:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\delta \int L dt = 0 \Leftrightarrow \delta \int L* dt = 0$ (27)[/FONT]


[FONT=Times New Roman]Bien, prosigamos:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Si $p$ y $q$ son canónicas cumplen el siguiente problema variacional:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\delta \int \lambda(\dot{q}_i p_i-H)dt=0$[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Como $P$ y $Q$ también deben ser canónicas (por construcción):[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\delta \int \lambda (\dot{Q}_i P_i-K)dt=0$[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Luego:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\lambda(\dot{q}_i p_i-H)=\dot{Q}_i P_i-K + \frac{dF(q,p,t)}{dt}$[/FONT]


[FONT=Times New Roman]Mediante un desarrollo simple pero algo largo (que es básicamente usar la regla de la cadena) se obtienen las siguientes ecuaciones para F (28):[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\lambda p_i~-~ P_j \frac{\partial Q_j}{\partial q_i} = \frac{\partial F}{\partial q_i}$ [/FONT]

[FONT=Times New Roman]$-P_j \frac{\partial Q_j}{\partial p_i} = \frac{\partial F}{\partial q_i}$[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$K = \lambda H + P_j \frac{\partial Q_j}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial t}$[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Dadas unas transformaciones $Q = Q(q,p,t)$ y $P = P(q,p,t)$ entonces $F$ está unívocamente definida salvo una función del tiempo f(t).[/FONT]
[FONT=Times New Roman]En cambio, dada $F$, no se determina, en general, de forma unívoca las transformaciones $P$ y $Q$. $F$ se denomina función generatriz de las transformaciones canónicas $Q = Q(q,p,t)$ y $P = P(q,p,t)$.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Un pequeño apunte: hasta ahora hemos considerado transformaciones canónicas extensas, pero vamos a restringirnos a transformaciones canónicas (\lambda = 1), ya que una transformación canónica extensa siempre puede escribirse como una transformación canónica más una transformación de escala.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Por lo tanto, la situación final es la siguiente:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Tenemos un sistema cuyo estado está determinado por las variables canónicas q, p sobre el phase manifold,y se definen las siguientes transformaciones canónicas:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$Q_i = Q_i(q,p,t)$ (29.a)[/FONT]
[FONT=Times New Roman]$P_i = P_i(q,p,t)$ (29.b)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Tales que se cumplen:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$p_i \dot{q}_i – H = P_i \dot{Q}_i – K + \frac{dF}{dt}$ (30)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]y tales que son localmente invertibles en todo punto $(q,p).$[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Estas nuevas coordenadas no se estudian por capricho, sino porque puede ser conveniente a la hora de resolver un problema, encontrar una transformación canónica que haga que el nuevo hamiltoniano carezca de alguna variable (que por tanto será inmediatamente integrable) o que haga que el problema sea resoluble de una manera mucho más sencilla. [/FONT]


[FONT=Times New Roman]Se puede plantear también el problema siguiente: dada una transformación $\Xi = \Xi(\xi, t)$ saber si es canónica o no. Bien, se puede demostrar, básicamente mediante álgebra, que una transformación es canónica sii:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$[u,v]_{\xi}=[u,v]_{\Xi}$ (31)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]para todo par de variables canónicas u, v. Una condición equivalente un tanto más sencilla de evaluar es:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$[\Xi_i,\Xi_j]_{\xi}=[\xi_i,\xi_j]_{\Xi}$ (32)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Como dato matemático se puede decir que el conjunto de las variables dinámicas, con la operación interna paréntesis de Poisson es un álgebra de Lie.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]A partir de la definición de paréntesis de Poisson y utilizando la regla de la cadena, se puede llegar a la siguiente relación, para una variable dinámica de un sistema descrito por un hamiltoniano H en coordenadas (q,p) sobre el phase manifold:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\dot{u} = \frac{du}{dt} = [u,H] + \frac{\partial u}{\partial t}$ (33)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Y como las coordenadas en las que describimos el sistema sobre la variedad no dependen explícitamente del tiempo:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\dot{\xi}_i = [\xi,H]$ (34) son las ecuaciones canónicas de Hamilton.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Teorema:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Sean $2n$ ecuaciones expresiones $\xi = \xi(t).$La condición necesaria y suficiente para que la evaluación esté generada por un hamiltoniano H es que para todo par de variables canónicas se cumpla:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\frac{d}{dt} [u,v] = [\dot{u},v] + [u, \dot{v}] (35)$[/FONT]
[FONT=Times New Roman]de donde se deduce trivialmente como corolario el teorema de Poisson:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Si u, v son constantes del movimiento asociadas a un sistema con Hamiltoniano H:[/FONT]

[FONT=Times New Roman]$\frac{d}{dt} [u,v] = [0,v] + [u,0] = 0$ (36)[/FONT]

[FONT=Times New Roman]y $[u,v]$ es constante del movimiento.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Tocaría hablar ahora de las transformaciones canónicas por tipo, pero eso ya lo dejo para que aquel que le haya interesado el tema, lo consulte por su cuenta. Simplemente decir, que dichas transformaciones surgen cuando, por las condiciones del problema, se pueden tomar como variables independientes para definir un punto del phase manifold el par $(q, Q)$ tipo 1, $(q, P)$ tipo 2, $(p, Q)$ tipo 3, $(p, P)$ tipo 4.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Si puedo intentaré hacer un post sobre la continuación de esto: grupos continuos de transformaciones y teoría de Hamilton-Jacobi.[/FONT]