1r ciclo Sistema formado por dos masas y dos muelles

[SCHRODINGER27]

Hola muy buenas, tengo problemas con el siguiente ejercicio:



Yo he puesto las coordenadas tal que x1 = 0, y1=y, x2= x ,y2= 0. Ahí está mi duda, en qué sistema coger, a partir de ahí, el resto es mecánico, creo. Agradecería la ayuda pues tengo dudas ya que yo pondría algo más o inclusos signos en el S.R.

Otra duda es el apartado c), ¿cómo se resolvería?¿y el apartado d)?

Muchas gracias!

[angel relativamente]

Re: Sistema formado por dos masas y dos muelles

Parecen unas buenas coordenadas, lo importante es darse cuenta que el sistema tiene dos grados de libertad y en este caso tu vas a describirlo con esas coordenadas "x,y". Una vez hecho eso el apartado c) se saca resolviendo las ecuaciones diferenciales que obtengas y el apartado d) parece una simple sustitución en la solución general

[sater]

Re: Sistema formado por dos masas y dos muelles

El problema es que las ecuaciones diferenciales que salen son complicadillas. Mañana las subo a ver que ahora no tengo tiempo y quizá nos demos cuenta de mi error, yo no lo veo, o quizá no caigo en la forma fácil de resolverlas.

[felmon38]

Re: Sistema formado por dos masas y dos muelles

Schr...(no me atrevo a poner el nombre completo), si no te especifican nada, se supone que el sistema de ejes x e y definen un sistema inercial. En caso contrario te pueden decir que el sistema de ejes pertenece a un barco que se mueve de cierta manera respecto de la Tierra. En este caso se considera, implícitamente, que la Tierra es un sistema inercial. O bién pueden
decirte que los ejes están unidos a la Tierra que se mueve respecto del Sol ( normamente no te dan los datos del movimiento suponiendo que sólo hay que tener en cuenta el movimiento de rotación).

Saludos

[SCHRODINGER27]

Re: Sistema formado por dos masas y dos muelles

A mí me sale el sistema:

$m_2 \ddot{x} + k_2 x = 0$
$m_1 \ddot{y} + k_1 y - m_1 g = 0$

No sé muy bien cómo resolver eso...

[SCHRODINGER27]

Re: Sistema formado por dos masas y dos muelles

¿Cómo saco el alargamiento del muelle 2 si dice que inicialmente la longitud es nula?

[Breogan]

Re: Sistema formado por dos masas y dos muelles

Hola:

Tomando tus mismas coordenadas generalizadas (x,y), y considerando el origen de forma que m2 esta con coordenada y2=0, el lagrangiano me queda:

$\dst \mathcal L = K \ - \ V$

donde:

$\dst K = \frac 1 2 \left( m_1 \dot y^2 + m_2 \dot x^2 \right)$

y

$\dst V = m_1 g y + \frac 1 2 k_1 (h - y)^2 + \frac 1 2 k_2 (x^2 + y^2)$

y por ultimo:

$\dst \mathcal L = \frac 1 2 \left( m_1 \dot y^2 + m_2 \dot x^2 \right) \ - \ \left[ m_1 g y + \frac 1 2 k_1 (h - y)^2 + \frac 1 2 k_2 (x^2 + y^2) \right]$

Como tengo dudas en este tema, me gustaría confirmación de que lo anterior esta bien para seguir.

s.e.u.o.

Suerte

[SCHRODINGER27]

Re: Sistema formado por dos masas y dos muelles

Sólo una cosa Breogan, el muelle 1, ¿no tiene también potencial gravitatoria? Quedando así -m1gy en la potencial, que luego en el lagrangiano es positivo, ¿no?

[Breogan]

Re: Sistema formado por dos masas y dos muelles

Hola:

Tenes toda la razón, no leí por completo el enunciado, mala mía.

Después de comer modifico el mensaje anterior, y continuo con el desarrollo del problema en este.

Suerte

[PedroAAI]

Re: Sistema formado por dos masas y dos muelles

Hola Breogan, siento desviarme un poco de la duda inicial pero cómo hiciste para calcular la energía potencial elástica de la segunda masa?
de la primera veo que es $1/2 k_1 (h-y)^2$ sin embargo no sé como llegar a la expresión de la segunda $1/2 k_2 (x^2 + y^2)$, si eres tan amable me lo podría decir como hiciste?

Un saludo

[Breogan]

Re: Sistema formado por dos masas y dos muelles

Hola:

Tengo dudas sobre el signo que pones para el potencial gravitatorio, por lo cual agrego un pequeña deducción (?), partiendo de la definición de potencial:

$\dst \vec F = - \vec{\nabla} U \quad \Rightarrow\quad \vec F = - \frac{\partial U}{\partial y} \hat j$

pero como en este SR $\dst \vec F =- |\vec F| \hat j$ resulta que $\dst \frac{\partial U}{\partial y} = |\vec F|> 0$, quedando:

$\dst U = m_1 g y$

donde m1 y g son positivos.

Aclaro, si todavía cabe, que sería bueno que alguien lo confirmara.

Escribiendo el Lagrangiano del post anterior nuevamente:

$\dst \mathcal L = \frac 1 2 \left( m_1 \dot y^2 + m_2 \dot x^2 \right) \ - \ \left[ m_1 g y + \frac 1 2 k_1 (h - y)^2 + \frac 1 2 k_2 (x^2 + y^2) \right]$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange estan dadas por:

$\dst \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i} \right) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} = 0 \quad \Rightarrow \quad.$[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


Resolviendo las derivadas para la 1º de ecuación E-L:

$\dst \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot x} = m_2 \dot x$

$\dst \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot x} \right) = m_2 \ddot x$

$\dst \frac{\partial \mathcal L}{\partial x} = - k_2 x$

Por lo cual la 1º ecuación diferencial queda.

$\dst m_2 \ddot x + k_2 x = 0$


Resolviendo las derivadas para la 2º de ecuación E-L:

$\dst \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot y} = m_1 \dot y$

$\dst \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot y} \right) = m_1 \ddot y$

$\dst \frac{\partial \mathcal L}{\partial y} = k_1 (h -y) - m_1 g - k_2 y$

Por lo cual la 1º ecuación diferencial queda.

$\dst m_1 \ddot y + m_1 g +k_2 y - k_1 (h -y) = 0$

Como se puede apreciar la 2º ED quedo diferente a la que presentaste en tu post.
Esperemos si alguien tiene algo que objetar, o nos indica cual es correcta, si alguna lo fuera.

s.e.u.o.

Suerte

PD: PedroAAI: la longitud del resorte de constante k2 es igual a la hipotenusa del triangulo rectángulo con catetos iguales a x e y, de forma que su longitud esta dada por Pitagoras; y como su longitud inicial es nula, según el enunciado, la energía potencial toma esa expresión.

Suerte

[PedroAAI]

Re: Sistema formado por dos masas y dos muelles

Vale, pero no tendría que tener en cuenta el primer muelle para nada? Tengo entendido que cuando dos muelles están en serie la energía potencial de la masa es $\frac{1}{2} (k_1+k_2)r^2$, sin embargo al estar el segundo muelle unido a la primera masa no se como tratarlo.
Por qué no se tiene en cuenta el primer muelle?

[Breogan]

Re: Sistema formado por dos masas y dos muelles

Hola:

Tenes que tener en cuenta que la fuerza entre sus extremos y la energía potencial almacenada en un resorte solo dependen de sus características mecánicas (su constante elástica) y su deformación.

$\dst F = - k (x - x_0)$

$\dst U = \frac 1 2 k (x - x_0)^2$

La expresión que citas vos solo es valida para una disposición particular de dos resortes, resortes en paralelo unidos por sus extremos, donde:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y por estar unidos por sus extremos resulta [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , y sabiendo que:

$\dst U = U_1 + U_2$

ya sale la formula que posteaste.

Si cambias la disposición de los dos resortes, cambia la formula para la energía almacenada en el conjunto.

Suerte.

PD: por si no quedo claro, la energía almacenada en el resorte va a depender solo de la longitud de este, pero dicha longitud si va a depender de las condiciones dinámicas y geométricas del conjunto de cuerpos que forman el problema.

Suerte

[sater]

Re: Sistema formado por dos masas y dos muelles

Me acabo de dar cuenta de que aunque calculé el estiramiento del segundo con pitagoras después elevé al cuadrado de nuevo por lo que se me complicó muchísimo. Voy a ver ahora que tal.
Un saludo

- - - Actualizado - - -

Buenas de nuevo. Con las ecs. de Breogan (con las que coincido) el sistema ya se resuelve fácil (para la x MAS de toda la vida y para la y primero resuelves la parte homogénea y la solución particular la sacas con variación de ctes).
Un saludo