1r ciclo Lagrangiano

[Castelao]

Tengo una duda respecto al lagrangiano:

El lagrangiano es una función del tipo $L=L(q,\dot{q}.t)$. Para saber si el hamiltoniano $H$ se conserva recurrimos a la integral de Jacobi: si el tiempo no aparece explícitamente en $L$, es decir, $\frac{\partial L}{\partial t }=0$, $H$ se conserva. ¿Pero cómo sabemos que no hay una dependencia del lagrangiano en $t$ oculta bajo una o más variables? ¿El decir que $H=C^{te}$ en base a si $t$ aparece explícitamente en $L$ o no sería un análisis un tanto superficial?

[alejandrito29]

Re: Lagrangiano

Pero las coordenadas sí pueden depender del tiempo, la condición es que el lagrangiano no dependa explicitamente del tiempo

$\frac{dL}{dt} = \frac{\partial L}{\partial q} \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q} } \ddot{q} + \frac{\partial L}{\partial t}$

$\frac{dL}{dt} =\frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} ) \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q} } \ddot{q} + \frac{\partial L}{\partial t}$

$\frac{dL}{dt} =\frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{q} ) + \frac{\partial L}{\partial t}$

$- \frac{\partial L}{\partial t}= \frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{q} - L)$

$- \frac{\partial L}{\partial t}= \frac{dE}{dt}$

[angel relativamente]

Re: Lagrangiano

Imagina un péndulo simple que va oscilando en ausencia de rozamiento etcétera. La masa va variando su posición con el tiempo, $\theta=\theta(t)$, la velocidad angular $\dot \theta$ también pero sin embargo su energía total se conserva (no depende explícitamente del tiempo).

[alexpglez]

Re: Lagrangiano

La demostración toma raíz en lo que ha escrito alejandrito29. Simplemente es usar las ecuaciones de euler-lagrange y las ecuaciones canónicas de hamilton para hallar que:

$$\frac{d H}{d t}=\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}$$

Yo sobre esto, si que tengo la duda histórica de porqué se interpretó ese resultado con la energía, es decir, si en la demostración se intentó llegar a la ecuación de la conservación de la energía a partir de la mecánica analítica, o cómo¿?
Por otra parte creo que al ver que el valor obtenido para algo que se conserva en el tiempo se corresponde con la energía en mecánica newtoniana es suficiente para concluir que es la nueva definición de la energía en mecánica analítica.

PD: si hay fuerzas que no derivan de un potencial, ejemplo disipativas.

$$\frac{d E}{d t}=-\frac{\partial L}{\partial t}+\sum_i F_i q_i$$