1r ciclo Dos masas, una en vaivén

[Gottfried]

Enunciado:
Dos bolitas de masa $m$, unidas por una cadena, se ciernen sobre dos poleas (de tamaño insignificante), como se muestra en la figura. La masa de la izquierda se mueve en una línea vertical, pero la de la derecha es libre de oscilar hacia atrás y adelante (en el plano de las masas y poleas). Si la masa de la izquierda parte del reposo y las oscilaciones son de una amplitud angular pequeña. Encuentre las ecuaciones de movimiento.



Lo que hice:
Siendo $r$ la distancia entre las masas y las poleas, $\theta$ el ángulo respecto a la vertical, tomando coordenadas polares escribimos el Lagrangiano:

$\dst \mathcal L = \frac{1}{2} m \dot r^2 + \frac{1}{2}m(\dot r^2 + r^2 \dot \theta^2) - (-mgr - mgr \cos\theta)$

Aplicando la ecuación de Euler-Lagrange obtenemos las ecuaciones del movimiento:

$\begin{aligned}<br /> 2 \ddot r = r \dot \theta^2 + g(1+\cos\theta) \\<br /> \tau = \frac{d}{dt}(r^2 \dot \theta) = g r \sin\theta<br /> \end{aligned}$

Pero tiene que haber un error ya que cuando realizo las aproximaciones para ángulos pequeños y descarto los términos de segundo orden no llego a la solución:

$\begin{aligned}<br /> \ddot r = 0 \\<br /> \ddot \theta + \frac{g}{r} \theta = 0<br /> \end{aligned}$

He visto que si escribimos la energía potencial de la siguiente forma:

$V = + mgr - mgr \cos\theta$

Se puede llegar a la solución indicada, pero no entiendo la razón por la cual hay que hacer ese cambio de signo

Le agradezco a quien pueda darme una mano

[Miquel Bernat]

Re: Dos masas, una en vaivén

La energía potencial en el campo gravitatorio tiene que ser negativa porque
sus líneas de fuerza se dirigen hacia el origen.
Quizás sea ese el motivo del cambio de signo.

un saludo

[felmon38]

Re: Dos masas, una en vaivén

Gottfried, creo que lo que tienes mal calculada es la velocidad de la masa que pendula, porque has considerado, al menos en la figura, que r es la misma en los dos lados.
Saludos

[Gottfried]

Re: Dos masas, una en vaivén

Gottfried, creo que lo que tienes mal calculada es la velocidad de la masa que pendula, porque has considerado, al menos en la figura, que r es la misma en los dos lados.
Saludos

Hola Felmon, creo que eso no debería influir ya que las velocidades ${\dot r}_{izq}$ y ${\dot r}_{der}$ van a ser iguales en magnitud y de sentido opuesto, al estar al cuadrado no influye, para mí el problema está en el signo de la energía potencial de la masa de la izquierda, ya que si cambiamos eso llegamos a la solución que me dan.

[felmon38]

Re: Dos masas, una en vaivén

Gottfried, suponiendo que las dos masas cuelgan a la misma altura r y que después se hace bascular a la de la derecha, su velocidad al cuadrado me sale:
$\dot{y}$² + (r-y)²$\dot{\theta}$²
siendo y el desplazamiento de la masa izquierda (aquí r es constante e y positiva hacia abajo)

La energía potencial sería:
V=-mg(r+y)-mg(r-y)cosθ

Ahora bien, no sé si después de derivar estas expresiones (junto con la de energía cinética de la masa de la izquierda), para llegar a las ecuaciones de Lagrange y, simplificar ahora, al suponer que θ es menor de 5º, salen las mismas ecuaciones o no, y la verdad, no me siento con fuerzas para comprobarlo, a no ser que no lo quieras comprobar tú.
Saludos

[Gottfried]

Re: Dos masas, una en vaivén

Gottfried, suponiendo que las dos masas cuelgan a la misma altura r y que después se hace bascular a la de la derecha, su velocidad al cuadrado me sale:
$\dot{y}$² + (r-y)²$\dot{\theta}$²
siendo y el desplazamiento de la masa izquierda (aquí r es constante e y positiva hacia abajo)

La energía potencial sería:
V=-mg(r+y)-mg(r-y)cosθ

Ahora bien, no sé si después de derivar estas expresiones (junto con la de energía cinética de la masa de la izquierda), para llegar a las ecuaciones de Lagrange y, simplificar ahora, al suponer que θ es menor de 5º, salen las mismas ecuaciones o no, y la verdad, no me siento con fuerzas para comprobarlo, a no ser que no lo quieras comprobar tú.
Saludos

Gracias, lo he comprobado y obtengo:

$\begin{aligned} \ddot y = 0 \\ \ddot \theta + \frac{g}{r-y} \theta = 0 \end{aligned}$

Pero esa constante $r$ que introduces no es necesaria, he buscado sobre el problema pero en inglés (debí haberlo hecho antes) y he visto que mío Lagrangiano queda igual a excepción de ese signo cambiado:

$\dst \mathcal L = \frac{1}{2} m \dot r^2 + \frac{1}{2}m(\dot r^2 + r^2 \dot \theta^2) - (+mgr - mgr \cos\theta)$

Pero no especifican la razón por la cual toman la energía potencial así, les será tan obvio?

http://en.wikipedia.org/wiki/Swinging_Atwood's_machine

http://step.ipgp.fr/images/f/f3/SAM.pdf

http://physics.highpoint.edu/~atitus...perimental.pdf

[felmon38]

Re: Dos masas, una en vaivén

Gottfried, ¡qué bárbaro, qué manera de operar! Fíjate que, y=C1.t+C2 y por las condiciones iniciales, C1=C2=0, por lo que y=0, y las ecuaciones coinciden con la solución que te dan. r es la longitud del trozo de cuerda de la masa de la derecha en el instante inicial. La figura es equívoca, porque está hecha sabiendo la solución. No hay que cambiar de signo a la energía potencial, ¡Menos mal!
Saludos

[Gottfried]

Re: Dos masas, una en vaivén

Gottfried, ¡qué bárbaro, qué manera de operar! Fíjate que, y=C1.t+C2 y por las condiciones iniciales, C1=C2=0, por lo que y=0, y las ecuaciones coinciden con la solución que te dan. r es la longitud del trozo de cuerda de la masa de la derecha en el instante inicial. La figura es equívoca, porque está hecha sabiendo la solución. No hay que cambiar de signo a la energía potencial, ¡Menos mal!
Saludos

Gottfried, ¡qué bárbaro, qué manera de operar! Fíjate que, y=C1.t+C2 y por las condiciones iniciales, C1=C2=0, por lo que y=0, y las ecuaciones coinciden con la solución que te dan. r es la longitud del trozo de cuerda de la masa de la derecha en el instante inicial. La figura es equívoca, porque está hecha sabiendo la solución. No hay que cambiar de signo a la energía potencial, ¡Menos mal!
Saludos

Felmon, esa $r$ no es la longitud del trozo de cuerda de la masa de la derecha en el instante inicial, discúlpame, vamos a olvidarnos de esa gráfica, veamos esta que es la que me dieron:



Y si puedes échale un ojo a alguno de los enlaces anteriores, gracias!

[felmon38]

Re: Dos masas, una en vaivén

Gottfried, entoces la figura sobre la que tienes que establecer las ecuaciones es:

Siendo r, una constante, que es la distancia inicial a la que están las masas del centro de sus poleas respectivas en el instante inicial e y, el desplazamiento de la masa izquierda. Esta es la figura que he utilizado para expresar la energía potencial del sistema e y la velocidad de la masa de la derecha.
Saludos

[Breogan]

Re: Dos masas, una en vaivén

Hola:

Tu error parte del dibujo que pusiste en tu 1º post. La condición de igualdad de la longitud de los hilos del que cuelgan las dos masas es particular, y no tiene por que cumplirse en forma general.

Por otra parte la expresión correcta de la energía potencial del sistema te sale cuando tenes en cuenta el vinculo que hay entre la posición de las dos masas, dada por la cuerda inextensible; cuando una masa pierde energía potencial la otra indefectiblemente la gana, de ahí que te aparezcan con signos opuestos. Esto se ve mas fácil planteándolo matemáticamente.

Obviando toda el análisis del nº de coordenadas independientes que describen el sistema, que entiendo que sabes, elegimos $r_2 \ y \ \theta$ como coordenadas generalizadas para describir el sistema; donde $r_2$ es el largo del hilo que sostiene la masa de la derecha (de ahora en mas la voy a identificar con el subindice 2) y $\theta$ es el angulo de dicho hilo respecto de la vertical.
Elegimos también un SR con el origen en el techo y el semieje y+ hacia abajo, en este SR la energía potencial del sistema esta dado por:

$\dst U = - m_1 g r_1 - m_2 g r_2 cos \theta$

donde r1 es la longitud del hilo del que pende la masa de la izquierda (masa 1).
Ahora se debe tener en cuenta el vinculo, que relaciona los valores de r1 y r2 con la longitud total de la cuerda que es constante:

$\dst r_1 + l + r_2 = L$

donde l es la longitud de la cuerda entre las poleas, que es constante, y L es el largo de la cuerda. Operando llegamos a:

$\dst r_1 + r_2 = L - l = C \quad \Rightarrow \quad r_1 = C - r_2$

que reemplazada en la 1º queda:

$\dst U = - m_1 g ( C - r_2 ) - m_2 g r_2 cos \theta$

agrupando:

$\dst U = m_1 g r_2 - m_2 g r_2 cos \theta - m_1 g C$

$\dst U = m_1 g r_2 - m_2 g r_2 cos \theta + C_1$

Como vos podes encontrar infinitas funciones potenciales que solo difieran en una constante, y se sabe que dicha constante depende del punto de referencia 0 de la energía potencial, y que ademas la descripción dinámica del movimiento no puede depender de donde se halla elegido dicho punto, podemos inferir que dicha constante (en nuestro caso C1) va a desaparecer al operar con las ecuaciones de Euler-Lagrange.
Facticamente la ecuación de la energía potencial que yo deduje, y la que das en tu post como correcta son "iguales".
Si te quedan dudas hace las operaciones matemáticas que correspondan, y comproba si C1 aparece o no en el resultado final.

s.e.u.o.

Suerte